AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Pick
Le théorème de Pick donne l’aire d’un polygone simple, sans trou, dont tous les sommets sont des nœuds d’un même réseau carré régulier, en prenant l’aire d’un carreau élémentaire comme unité. Cette aire est égale au nombre de nœuds strictement intérieurs, augmenté de la moitié du nombre de nœuds du bord, puis diminué de 1 : elle se calcule ainsi exactement par simple comptage.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions d’application de la formule de Pick.
- Compter correctement les nœuds du bord et de l’intérieur.
- Refaire un calcul d’aire exact sur un polygone à sommets entiers.
- Reconnaître les cas où la formule classique ne s’applique pas.
En clair
Imaginez un polygone tracé sur du papier quadrillé, avec chaque sommet posé à l’intersection de deux lignes. Pour connaître son aire, il suffit alors de compter deux groupes de points : ceux du bord et ceux enfermés à l’intérieur.
Le théorème de Pick transforme ces deux comptages en une aire exacte. Dans l’exemple de la fiche, 10 nœuds bordent le polygone et 6 sont intérieurs : l’aire vaut 10 carreaux, sans découpage ni intégrale.
Définition
Le théorème de Pick concerne, dans sa forme classique, un polygone simple dont les sommets sont des nœuds d’un réseau carré régulier. Le polygone ne se croise pas et ne possède pas de trou. On note A son aire mesurée en carreaux élémentaires, s le nombre de nœuds situés sur tout son bord, sommets compris, et i le nombre de nœuds strictement intérieurs.
Le résultat est exact lorsque l’aire d’un carreau du réseau vaut une unité d’aire. Si le pas réel du quadrillage vaut une longueur h, le nombre obtenu en carreaux doit être multiplié par h2. Georg Pick a publié ce résultat en 1899 dans Geometrisches zur Zahlenlehre.
Le principe
Si un polygone simple, sans trou, a tous ses sommets sur les nœuds d’un réseau carré régulier, alors son aire A, exprimée en carreaux élémentaires, dépend du nombre s de nœuds du bord et du nombre i de nœuds strictement intérieurs :
Chaque nœud du contour est compté une seule fois, même s’il n’est pas un sommet du polygone. Les nœuds situés sur le contour ne sont jamais inclus dans i.
Quand l'utiliser
La formule classique demande trois vérifications. Tous les sommets doivent appartenir au même réseau carré régulier. Le contour doit former un polygone simple, donc fermé et sans croisement. Enfin, la région considérée ne doit pas comporter de trou. Il faut ensuite compter tous les nœuds du contour et seulement ceux qui sont strictement à l’intérieur.
Un triangle dont un sommet tombe entre deux nœuds fournit un contre-cas immédiat : les deux comptages ne suffisent plus à appliquer cette formule. Il faut alors calculer l’aire par une autre méthode adaptée aux coordonnées ou à la géométrie de la figure.
Un exemple, pas à pas
Considérons le polygone dont les sommets, parcourus dans l’ordre, ont pour coordonnées (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 2), (2 ; 3) et (0 ; 2). Le carreau élémentaire est l’unité d’aire. La figure matérialise les nœuds à compter.
Étape 1. Le bord contient 10 nœuds distincts : les 5 sommets et 5 autres nœuds placés sur les côtés horizontaux ou verticaux. Ainsi, s vaut 10.
Étape 2. À l’intérieur, on compte 3 nœuds sur la ligne d’ordonnée 1 et 3 sur celle d’ordonnée 2. Ainsi, i vaut 6.
Étape 3. La formule donne A = 10/2 + 6 − 1 = 10. L’aire du polygone vaut donc exactement 10 carreaux élémentaires.
Contrôle. La figure se décompose en un rectangle de largeur 4 et de hauteur 2, d’aire 8, surmonté d’un triangle de base 4 et de hauteur 1, d’aire 2. Le total 8 + 2 confirme les 10 unités d’aire.
En pratique
Sur un dessin quadrillé, commencez par vérifier que chaque sommet tombe bien sur une intersection. Si cette condition est remplie, le comptage des nœuds remplace avantageusement un découpage de la figure.
Pour contrôler un calcul d’aire obtenu par découpage, appliquez Pick au même polygone. L’accord exact entre les deux résultats révèle notamment les oublis de nœuds situés au milieu d’un côté.
Si un sommet n’appartient pas au réseau ou si le contour se croise, ne forcez pas la formule. Un calcul fondé sur les coordonnées ou un découpage géométrique devient alors l’alternative appropriée.
À ne pas confondre
Nœuds du bord et sommets. Les sommets déterminent les changements de direction du contour, tandis que s compte toutes les intersections du réseau placées sur ce contour. Dans l’exemple, il y a 5 sommets mais 10 nœuds de bord.
Aire et nombre de carreaux entièrement visibles. Compter seulement les carreaux contenus en entier oublie les morceaux coupés par le contour. Le théorème utilise des nœuds et donne ici 10, même si la frontière traverse certains carreaux.
Limites et pièges
Un sommet hors réseau. Dès qu’un seul sommet n’est pas un nœud du réseau, la formule classique ne s’applique pas. Il faut revenir aux coordonnées ou à un découpage géométrique.
Un contour croisé ou un trou. La constante −1 correspond ici à une région simple et sans trou. Un contour auto-intersecté ou une région trouée exige une formulation adaptée ; substituer les mêmes comptages dans la formule classique peut donner un résultat faux.
Le bord mal compté. Un long côté peut contenir plusieurs nœuds entre ses extrémités. Le symptôme est un résultat différent d’un calcul géométrique de contrôle ; il faut parcourir chaque côté et dédupliquer ses extrémités.
L’unité oubliée. Le résultat brut est un nombre de carreaux. Pour un quadrillage de pas h, l’aire réelle vaut ce nombre multiplié par h2, et non par h.
Pour aller plus loin
L’article Pick, un théorème inspirant prolonge la formule en montrant pourquoi ce résultat élémentaire nourrit d’autres idées géométriques.
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