pavage du plan

Imaginez un sol couvert de carreaux carrés. Chaque point du sol appartient à un carreau, aucun carreau n'en recouvre un autre et il ne reste aucun trou. Cette couverture est un pavage du plan.

On peut changer la forme des tuiles et leur manière de se rencontrer. Dans le quadrillage, deux carrés voisins partagent un côté entier : le pavage est bord à bord. Comme tous les carreaux sont des carrés de même taille, il est aussi régulier et monoèdre.

Un pavage du plan euclidien est un recouvrement du plan par des tuiles dont les intérieurs ne se chevauchent pas et qui ne laissent aucun trou. Avec des tuiles polygonales, les rencontres se font le long de segments ou en des sommets. Dans un pavage bord à bord, l'intersection de deux tuiles est vide, réduite à un sommet commun ou constituée d'une arête complète commune ; une arête ne s'arrête donc pas au milieu de celle d'une tuile voisine.

Un pavage monoèdre utilise une seule forme de tuile, à déplacement ou retournement près : toutes les tuiles sont isométriques. Tout triangle et tout quadrilatère peuvent ainsi servir de tuile. Un pavage régulier est plus contraint : il est bord à bord et n'emploie qu'un seul polygone régulier. Dans le cadre indiqué par la source, les trois possibilités sont le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier.

Pour un polygone régulier à n côtés, son angle intérieur α vaut $\alpha =\frac{(n-2){180}^{\circ }}{n}\backslash alpha=\backslash frac\{(n-2)180^\backslash circ\}\{n\}$. Dans un pavage régulier, un nombre entier k, au moins égal à 3, de ces angles doit remplir exactement un tour autour de chaque sommet : $k\alpha ={360}^{\circ }k\backslash alpha=360^\backslash circ$. Les solutions sont n = 3 avec k = 6, n = 4 avec k = 4, et n = 6 avec k = 3. Pour les polygones non réguliers, la forme des angles et l'agencement comptent davantage que le seul nombre de côtés.

Un pavage polygonal réunit d'abord une tuile de base, puis des copies qui couvrent le plan. Les arêtes délimitent les tuiles ; les sommets sont leurs extrémités ; les jonctions décrivent la manière dont plusieurs copies se rencontrent. Enfin, deux contraintes globales lient toutes ces pièces : la couverture ne laisse aucun trou et les intérieurs ne se chevauchent pas.

Les angles des tuiles réunies autour d'un sommet doivent totaliser 360°. Dans un pavage bord à bord, les arêtes communes coïncident entièrement, ce qui impose aussi la compatibilité de leurs longueurs. La couleur, l'épaisseur du trait ou l'orientation choisie pour dessiner une tuile ne définissent pas le pavage. Ce sont la forme des tuiles, leurs isométries et leurs règles de contact qui permettent de reconstruire l'agencement.

Prenons un carré de côté 2 cm et répétons-le par translations horizontales et verticales. Le schéma montre une tuile jaune, une arête partagée en rouge et un sommet où quatre carrés se rejoignent.

Données.
Tuile : un carré de côté 2 cm.
Angle intérieur : 90°.
Nombre de carrés autour du sommet observé : 4.
Déplacements : multiples de 2 cm horizontalement et verticalement.

Étape 1. Une translation élémentaire de 2 cm horizontalement ou verticalement place deux carrés voisins contre un côté complet. Ils partagent donc une arête de 2 cm, sans chevauchement partiel. Une translation de 2 cm dans chacune des deux directions ne leur donne en revanche qu'un sommet commun.

Étape 2. Autour d'un sommet, les quatre angles droits remplissent exactement un tour : $4\times {90}^{\circ }={360}^{\circ }4\backslash times\; 90^\backslash circ=360^\backslash circ$. Il n'y a ni trou ni recouvrement à cette jonction.

Étape 3. La répétition dans les deux directions couvre tout le plan. Le pavage est bord à bord, monoèdre puisque tous les carrés sont isométriques, et régulier puisque la tuile est un polygone régulier unique.

Contrôle. Sur toute arête intérieure, donc partagée, de la portion représentée, vérifiez que deux carrés seulement se touchent sur toute sa longueur ; une arête du contour ne borde qu'un carré visible. Sur n'importe quel sommet intérieur, recomptez quatre angles de 90°. Ces deux tests reproduisent localement les conditions du pavage.

Pour reconnaître un pavage sur un dessin, on examine d'abord la couverture : aucun trou et aucun chevauchement des intérieurs. Si une arête d'une tuile aboutit au milieu d'une autre, le pavage peut rester valable, mais il n'est pas bord à bord.

Pour classer un motif, on compare ensuite les tuiles. Si elles sont toutes isométriques, le pavage est monoèdre. Si elles sont en plus des copies d'un même polygone régulier et se rencontrent bord à bord, on teste l'une des trois familles régulières : triangles équilatéraux, carrés ou hexagones réguliers.

Pour vérifier une jonction, on additionne les angles qui entourent son sommet. Un total de 360° est nécessaire pour fermer localement le tour. Ce contrôle des angles ne suffit toutefois pas, à lui seul, à prouver que la répétition couvre le plan entier.

Pavage monoèdre et pavage régulier. Le premier exige seulement des tuiles toutes isométriques ; le second impose un polygone régulier unique et des rencontres bord à bord. Un pavage obtenu avec un rectangle non carré est monoèdre, mais pas régulier.

Pavage et motif périodique. Un motif répété sur un fond ne constitue un pavage que si les tuiles couvrent tout le plan sans trou ni chevauchement. Une rangée de carrés séparés par des espaces est périodique, mais ne pave pas le plan.

Bord à bord et simple contact. Deux tuiles peuvent se toucher sans partager une arête entière. Si le sommet de l'une tombe au milieu du côté de l'autre, le pavage n'est pas bord à bord, même si la couverture reste complète.

Le test des 360° est local. Des angles qui totalisent 360° autour d'un sommet ne garantissent pas, à eux seuls, un pavage de tout le plan. Il faut encore vérifier que le même agencement se prolonge sans incompatibilité, trou ni recouvrement.

La symétrie centrale d'un hexagone est une condition suffisante, pas nécessaire. Un hexagone convexe à symétrie centrale pave par translations, mais certains hexagones convexes pavants n'ont pas cette symétrie. Il faut donc étudier les relations entre côtés et angles plutôt que rejeter automatiquement toute autre forme.

La borne de six côtés concerne les polygones convexes. Aucun polygone convexe à plus de six côtés ne pave seul le plan de manière monoèdre. Sans l'hypothèse de convexité, des polygones concaves ayant davantage de côtés peuvent paver ; il faut donc annoncer cette hypothèse avant d'appliquer la borne.

Un pentagone ne pave pas automatiquement. Contrairement aux triangles et aux quadrilatères, seuls certains pentagones satisfont les contraintes nécessaires. Une vérification sur un seul sommet ne suffit pas : l'agencement complet doit se prolonger dans le plan.

Le glossaire pavage régulier détaille les trois familles fondées sur un unique polygone régulier et le rôle des angles autour d'un sommet.

Le glossaire pavage pentagonal prolonge la question des formes à cinq côtés capables de couvrir le plan.

L'article Éblouissants pavages de Penrose ouvre sur des pavages dont l'organisation dépasse la répétition périodique la plus familière.