GéométrieNotion · Glossaire
dallage
Un dallage est un pavage d'une surface plane consistant à la recouvrir entièrement, sans chevauchement ni espace vide, par des dalles ou des figures géométriques de formes et de tailles déterminées. En mathématiques, la notion de dallage, ou pavage, est étudiée dans le cadre de la géométrie et de la combinatoire : on s'intéresse aux types de polygones capables de paver le plan seuls ou en combinaison, aux conditions de régularité ou de périodicité de tels recouvrements, et aux symétries qu'ils présentent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un dallage par la couverture complète et l'absence de chevauchement des intérieurs.
- Vérifier un pavage carré par les dimensions, les aires, les jonctions et les angles.
- Distinguer dallage, recouvrement quelconque, empilement, motif et périodicité.
En clair
Imaginez un sol couvert de carreaux. Chaque point de la surface appartient à un carreau, aucun trou ne subsiste et deux carreaux ne se superposent pas. Cette organisation forme un dallage.
Les pièces peuvent toutes avoir la même forme ou combiner plusieurs figures. Leur assemblage peut répéter régulièrement un même motif, mais cette répétition n'est pas obligatoire.
Définition
Un dallage, aussi appelé pavage, est un recouvrement complet d'une surface plane par des pièces appelées dalles. Chaque dalle est une figure de forme et de taille déterminées. Les intérieurs de deux dalles distinctes ne se rencontrent pas ; leurs frontières peuvent toutefois avoir des segments ou des points communs. Cette précision traduit rigoureusement l'absence de chevauchement tout en autorisant des pièces jointives.
Dans un dallage du plan entier, les dalles se prolongent sans laisser de zone découverte. Un seul type de polygone peut suffire, comme le carré, ou plusieurs types peuvent être combinés. La régularité décrit des contraintes supplémentaires sur les pièces et leur assemblage ; elle ne fait pas partie de la définition minimale.
Un dallage est périodique lorsqu'une translation non nulle le superpose à lui-même. Il peut posséder d'autres symétries, par exemple des rotations ou des réflexions. La géométrie étudie ces formes et ces transformations, tandis que la combinatoire examine les manières compatibles de les assembler.
Un exemple, pas à pas
On veut couvrir un rectangle de 30 cm de longueur et 20 cm de largeur avec des carrés de 10 cm de côté. Les données sont donc : un rectangle de 30 cm × 20 cm et des dalles carrées de 10 cm × 10 cm.
1. Sur la longueur, 30 ÷ 10 = 3 carrés tiennent exactement.
2. Sur la largeur, 20 ÷ 10 = 2 carrés tiennent exactement.
3. Le nombre total de dalles vaut 3 × 2 = 6.
4. L'aire du rectangle vaut 30 × 20 = 600 cm2. L'aire totale des six carrés vaut 6 × 10 × 10 = 600 cm2.
2. Sur la largeur, 20 ÷ 10 = 2 carrés tiennent exactement.
3. Le nombre total de dalles vaut 3 × 2 = 6.
4. L'aire du rectangle vaut 30 × 20 = 600 cm2. L'aire totale des six carrés vaut 6 × 10 × 10 = 600 cm2.
Les six carrés couvrent donc le rectangle sans vide. Le quadrillage montre aussi qu'ils n'empiètent pas les uns sur les autres. Au sommet intérieur où quatre carrés se rencontrent, leurs quatre angles droits totalisent 4 × 90° = 360° : ils entourent exactement le point. En poursuivant le même quadrillage dans toutes les directions, on obtient un dallage périodique du plan par des carrés.
En pratique
Pour vérifier un motif de carreaux, on contrôle d'abord localement les jonctions : les pièces doivent se toucher sans laisser de trou et leurs intérieurs ne doivent pas se recouvrir. Un simple dessin décoratif ne suffit pas si ces deux critères échouent.
Pour construire un dallage répétitif, on repère un déplacement qui reproduit exactement les mêmes formes et les mêmes jonctions. Si aucun déplacement non nul ne convient, le dallage peut rester valide, mais il n'est pas périodique.
Pour comparer plusieurs assemblages, on observe les polygones employés, leur disposition autour des sommets et les symétries du motif. Ces indices permettent de distinguer des dallages qui utilisent pourtant les mêmes pièces.
À ne pas confondre
Un recouvrement quelconque peut autoriser des superpositions. Si deux pièces ont une zone intérieure commune, cette zone est recouverte par les deux pièces, mais l'assemblage n'est pas un dallage.
Un empilement ou packing interdit en général le chevauchement, mais peut laisser des espaces. Des disques tangents séparés par des vides forment un empilement, pas un dallage du plan.
Un motif est le dessin qui peut se répéter ; le dallage est le recouvrement complet obtenu. Un motif carré isolé n'est donc pas encore un dallage de tout le plan.
Limites et pièges
Frontières communes. Dire « sans chevauchement » ne signifie pas que les dalles sont disjointes point par point. Deux dalles voisines peuvent partager un côté ; ce sont leurs intérieurs qui ne doivent pas avoir de point commun.
Égalité des aires. Obtenir la même aire totale que la surface visée est nécessaire dans l'exemple rectangulaire, mais ce contrôle ne suffit pas. Des pièces peuvent avoir la bonne aire tout en se chevauchant ou en laissant un trou. Il faut aussi vérifier les jonctions.
Périodicité. La répétition par translation est une propriété possible, non une condition de tout dallage. L'absence de période ne crée donc ni vide ni chevauchement à elle seule.
Surface finie ou plan entier. Six carrés dallent le rectangle de l'exemple, mais pas le plan entier. Pour parler d'un dallage du plan, le quadrillage doit se poursuivre dans toutes les directions.
Pour aller plus loin
Le pavage équilatéral approfondit un cas où toutes les arêtes des pièces ont la même longueur.
L'article Qu’est-ce qu’un polygone ? précise le vocabulaire des figures qui servent de dalles.
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