pavage périodique

Imaginez un sol couvert de carreaux carrés identiques. Faites glisser tout le dessin de la largeur d'un carreau vers la droite : chaque bord et chaque sommet retombent sur un bord et un sommet. Le pavage paraît inchangé. Cette répétition par glissement est sa périodicité. Si le même phénomène fonctionne aussi dans une seconde direction, non parallèle à la première, le motif se répète dans tout le plan.

Un pavage périodique est un recouvrement du plan par des pavés, sans trou ni chevauchement intérieur, qui reste globalement inchangé après au moins une translation non nulle. Une translation déplace chaque point du même vecteur, sans rotation ni déformation. Notons T l'ensemble des pavés et u un vecteur non nul. Le critère d'invariance s'écrit :

Cette égalité concerne le pavage entier, et non la ressemblance de quelques pavés. Lorsque deux vecteurs de translation non parallèles la vérifient, le pavage est dit bipériodique. Dans le cadre des pavages bipériodiques, la source rattache aux travaux de Bravais, d'Evgraf Fedorov (1853-1919) et de Heinrich Heesch la classification des groupes cristallographiques du plan, c'est-à-dire des groupes de symétrie de tels pavages. Cette classification distingue 17 types de groupes, à changement affine de coordonnées près.

Considérons le plan quadrillé par des carrés de côté 1. Les données sont le pavé carré de référence, les entiers m et n qui repèrent sa colonne et sa ligne, puis les vecteurs u = (1, 0) et v = (0, 1). Le diagramme du quadrillage matérialise ces deux déplacements d'une maille.

Pour chaque paire d'entiers m et n, le pavé correspondant est le carré Q_m,n défini par :

1. La translation de vecteur u envoie Q_m,n sur Q_m+1,n.
2. La translation de vecteur v envoie Q_m,n sur Q_m,n+1.
3. Dans les deux cas, chaque carré arrive exactement à la place d'un autre carré : le quadrillage entier est inchangé.

Les vecteurs u et v ne sont pas parallèles : le pavage est donc bipériodique. Pour contrôler le résultat, choisissez n'importe quel couple d'entiers, par exemple (2, 3) ; après le déplacement u, le carré repéré devient bien celui de coordonnées (3, 3).

En architecture ou en décoration, on cherche un déplacement qui superpose tout le motif à lui-même. Un calepinage périodique convient lorsque ce glissement conserve chaque raccord ; si aucun vecteur ne fonctionne globalement, il faut décrire le motif autrement.

En cristallographie plane, deux translations non parallèles permettent d'isoler une maille dont les copies reconstruisent le motif. Une seule direction de répétition ne suffit pas à cette reconstruction bidimensionnelle : on conserve alors la qualification périodique de la source, mais pas celle de bipériodique.

Pour vérifier un dessin, on suit quelques sommets, arêtes et couleurs après le même déplacement. Le test doit réussir partout, pas seulement dans une zone visuellement régulière.

Un pavage non périodique peut présenter des formes répétées sans qu'aucune translation non nulle laisse le pavage entier invariant. Le critère décisif est global : si tout vecteur finit par décaler au moins une partie du motif, le pavage n'est pas périodique.

Une symétrie de rotation ne prouve pas une périodicité par translation. Un motif peut coïncider avec lui-même après avoir tourné autour d'un point, alors qu'un glissement le modifie. Il faut donc identifier le mouvement qui réalise la superposition.

Une seule direction. Un vecteur de translation non nul suffit à la périodicité au sens retenu par la source. Sans second vecteur non parallèle, le pavage n'est toutefois pas bipériodique.

Un fragment trompeur. Plusieurs rangées identiques dans une image finie ne démontrent pas l'invariance du pavage entier. Il faut formuler un vecteur et vérifier que chaque pavé est envoyé sur un pavé du même ensemble.

Un vecteur non minimal. Si une translation d'une maille conserve le motif, une translation de deux mailles le conserve aussi. L'existence d'un vecteur convient au critère ; ce vecteur n'est pas nécessairement la plus petite période possible.

La forme seule ne suffit pas. Lorsque couleurs ou orientations appartiennent au motif, elles doivent également coïncider après la translation. Superposer uniquement les contours peut faire conclure à tort.

La fiche translation précise l'isométrie qui déplace tous les points du même vecteur.

La fiche pavage non périodique montre pourquoi la répétition locale ne garantit pas une période globale.

L'article Des transformations géométriques en groupes relie les transformations du plan à la structure de groupe évoquée par la classification.