type de pavage du plan

Imaginez un carreau décoré qui recouvre le sol en se répétant vers la droite et vers le haut. Les deux déplacements ne suivent pas la même ligne : ensemble, ils permettent d’atteindre toutes les copies du motif.

Pour déterminer le type de ce pavage, la forme des tuiles ne suffit pas. On relève tous les gestes qui laissent le dessin inchangé : le déplacer, le tourner, le réfléchir comme dans un miroir ou combiner réflexion et glissement. La combinaison obtenue range le pavage dans l’une des 17 familles.

Un type de pavage du plan est une classe de pavages périodiques définie par leur groupe de symétrie. Un pavage est périodique lorsque deux translations de directions indépendantes le laissent inchangé. Leurs combinaisons forment un réseau de translations qui reproduit le motif dans tout le plan.

La classification prend en compte toutes les symétries du pavage : translations, rotations, réflexions et réflexions avec glissement. Elle comporte exactement 17 groupes cristallographiques plans, notés p1, pm, pg, cm, p2, p2mm, p2mg, p2gg, c2mm, p4, p4mm, p4gm, p3, p3m1, p31m, p6 et p6mm. Identifier un type exige donc l’inventaire du groupe complet, et non la seule observation d’une tuile ou d’un motif isolé.

Cette classification classique appartient à la géométrie comme à la cristallographie. Ses 17 types apparaissent dans les structures minérales, dans l’art islamique médiéval et dans de nombreuses variantes explorées par M. C. Escher.

Quatre éléments organisent la classification. Les tuiles recouvrent le plan, tandis qu’un motif permet d’observer ce qui se répète. Deux translations indépendantes, notées par les vecteurs u et v, engendrent le réseau : aucune ne doit suivre la direction de l’autre. Le groupe de symétrie réunit ensuite tous les déplacements, rotations, réflexions et réflexions avec glissement qui conservent le pavage.

Le réseau garantit la périodicité, mais il ne détermine pas seul le type. Le motif peut ajouter ou supprimer des rotations et des réflexions visibles. Inversement, l’échelle, l’orientation générale et les couleurs ne changent pas le principe de l’inventaire : c’est la structure des symétries conservées qui conduit à l’une des 17 étiquettes conventionnelles.

Considérons un pavage de carreaux rectangulaires portant tous le même motif asymétrique jaune et rouge. L’extrait représenté suffit à formuler les tests, mais la conclusion concerne le pavage prolongé dans tout le plan.

Données : le motif se répète par un déplacement horizontal u et par un déplacement vertical v. Ces directions sont indépendantes. Le motif conserve partout la même orientation.

1. On vérifie que les translations de vecteurs u et v superposent chaque motif à une copie identique. Le pavage est donc périodique dans deux directions.

2. On teste les rotations et les réflexions sur le motif complet : même lorsqu’un point rouge peut être envoyé sur un autre point rouge, le quadrilatère décoratif ne se superpose pas à une copie de même orientation. Ces transformations ne conservent donc pas le décor.

3. On teste enfin une réflexion suivie d’un glissement. Elle ne superpose pas davantage le motif à ses copies. Le groupe observé ne contient donc que les translations du réseau : le pavage appartient au type p1.

Contrôle : une translation de u, de v ou de leurs combinaisons retrouve toujours le même décor; un demi-tour ou un miroir peut superposer certains points rouges, mais échoue sur le motif complet, notamment sur le quadrilatère décoratif.

En cristallographie, on relève les symétries d’une structure minérale périodique pour la rattacher à un groupe plan. Lorsque la forme d’une seule maille suggère trop de symétries, l’examen du motif complet tranche.

Dans un décor de l’art islamique médiéval, on repère d’abord deux répétitions indépendantes, puis les centres de rotation, les axes de réflexion et les glissements éventuels. Classer le groupe est plus précis que décrire seulement les polygones visibles.

Face à une œuvre périodique de M. C. Escher, on suit le même inventaire. Si les figures représentées brisent une symétrie du réseau sous-jacent, le classement porte sur l’œuvre décorée telle qu’elle est, non sur une grille supposée.

Un pavage du plan et son type. Le pavage est le recouvrement concret par des tuiles; le type est la famille obtenue à partir de son groupe de symétrie. Deux décors différents peuvent donc relever d’une même étiquette si leur structure de symétries est la même.

Pavage périodique et pavage non périodique. Le test décisif est l’existence de deux translations indépendantes qui conservent tout le pavage. Sans ce réseau à deux directions, la classification en 17 groupes cristallographiques plans ne s’applique pas.

Type de pavage et type de frise. Une frise se répète essentiellement dans une direction, alors que le pavage périodique du plan en exige deux indépendantes. Une bande décorée qui ne se prolonge pas périodiquement dans la seconde direction relève donc d’une autre classification.

Deux répétitions colinéaires. Deux longueurs de déplacement sur une même droite ne donnent pas deux directions indépendantes. Il faut chercher une seconde translation non parallèle avant de parler de pavage périodique du plan.

Un extrait trop petit. Une rotation ou un axe de réflexion peut se trouver hors du cadre observé. Il faut agrandir la zone jusqu’à vérifier les candidats sur plusieurs copies du motif avant de conclure à l’absence d’une symétrie.

La tuile nue masque le décor. Une tuile peut être symétrique alors que son motif ne l’est pas. Le classement doit porter sur le pavage entier, décor compris, sinon des rotations ou réflexions inexistantes risquent d’être ajoutées.

Une réflexion avec glissement prise pour un miroir. Après la réflexion, un déplacement parallèle à l’axe peut être nécessaire pour retrouver le motif. Tester la réflexion seule, puis la combinaison, évite de confondre ces deux symétries.

Pavage du plan — Revenir au recouvrement lui-même avant d’étudier la classification de ses symétries.

Dix-sept groupes pour paver le plan — Approfondir la classification complète annoncée dans cette fiche.

Des transformations géométriques en groupes — Relier l’inventaire des symétries à la notion mathématique de groupe.

Les sept types de frise — Comparer la répétition dans une direction avec celle d’un pavage du plan.