groupe de frise

Imaginez un motif peint sur une longue bordure. Faites-le glisser de 6 unités le long de la bande : le décor se superpose exactement à lui-même. Selon le type de frise, il peut aussi se superposer après un miroir, un demi-tour, ou un glissement suivi d'un miroir.

Le groupe de frise rassemble toutes ces transformations qui laissent le décor inchangé. La répétition avance dans une seule direction, contrairement à un papier peint périodique qui se répète dans deux directions indépendantes.

Un groupe de frise est l'ensemble des isométries du plan qui laissent inchangée une frise décorée périodique, et cet ensemble forme un groupe discret. « Discret » signifie ici que ses transformations ne s'accumulent pas continûment près de l'identité. Son sous-groupe de translations est cyclique infini : il est engendré par une translation primitive T, de longueur a strictement positive, parallèle aux bords de la bande. Toutes les translations du groupe sont les puissances entières de T.

À cette translation peuvent s'ajouter une réflexion dans l'axe longitudinal de la bande, une réflexion glissée le long de cet axe, des réflexions selon des axes perpendiculaires, ou des demi-tours. Dans l'exemple conducteur, la réflexion glissée g envoie un point de coordonnées x et y sur le point défini par $g(x,y)=(x+3,-y)g(x,y)=(x+3,-y)$. L'appliquer deux fois donne $g^2(x,y)=(x+6,y)=T(x,y)g^2(x,y)=(x+6,y)=T(x,y)$ : le glissement vaut donc une demi-période.

Au-delà de la translation, toujours présente, les symétries caractéristiques donnent exactement sept types :
1. translation seule ;
2. réflexion glissée, sans miroir ni demi-tour ;
3. miroir longitudinal, sans miroir perpendiculaire ni demi-tour ;
4. miroirs perpendiculaires à la bande, sans miroir longitudinal ni demi-tour ;
5. demi-tours, sans miroir ni réflexion glissée ;
6. demi-tours, miroirs perpendiculaires et réflexions glissées, sans miroir longitudinal ;
7. miroirs longitudinaux et perpendiculaires, avec les demi-tours qu'ils engendrent.
Cette grille transforme les tests précédents en décision : on relève les miroirs, puis les demi-tours et la réflexion glissée pour isoler une seule famille. La notation internationale de Hermann-Mauguin code ces sept combinaisons en cristallographie ; elle décrit le type de symétrie, pas la forme ni la couleur du motif choisi.

On rencontre une frise sur une bordure décorative, une bande de carrelage, un ruban tissé ou un dessin géométrique allongé. Quatre marqueurs se repèrent sans calcul : deux bords parallèles, un motif répété à intervalles réguliers, une seule direction de répétition illimitée et une hauteur bornée.

Le support porte plus qu'une suite de copies. L'orientation alternée des motifs, des axes-miroirs éventuels ou des centres de demi-tour indiquent quelles isométries appartiennent au groupe. Une portion finie peut suggérer une frise, mais seule la répétition idéale de toute la bande définit l'objet mathématique.

La grandeur à lire d'abord est la période primitive : le plus petit déplacement positif parallèle à la bande qui superpose tout le motif à lui-même.

1. Choisissez un détail asymétrique facile à suivre.
2. Faites-le avancer parallèlement aux bords jusqu'à retrouver simultanément tous les détails ; mesurez ce déplacement.
3. Testez ensuite un miroir longitudinal, des miroirs perpendiculaires et des demi-tours de 180°.
4. Vérifiez chaque candidat sur toute une période, pas sur un seul élément.

Dans l'exemple, la période est 6 unités. L'œil peut prendre l'écart de 3 unités entre deux motifs voisins pour la période ; pourtant, ces deux motifs sont retournés. Le bon réflexe consiste à contrôler l'orientation : 3 unités suivies du miroir donnent la réflexion glissée, tandis que 6 unités donnent la translation.

Une bande porte des motifs asymétriques alternés de part et d'autre de son axe central.
Données : l'axe central est la droite y = 0 ; deux motifs voisins sont décalés de 3 unités ; le second est le miroir du premier par rapport à cet axe ; la période annoncée est 6 unités.

1. Un décalage de 3 unités seul ne convient pas : il place le motif au bon endroit, mais du mauvais côté de l'axe.
2. Après ce décalage, la réflexion selon y = 0 restitue exactement le motif voisin. La transformation obtenue est la réflexion glissée g.
3. Appliquer g une seconde fois ajoute encore 3 unités et effectue un second miroir. Les deux miroirs s'annulent.
4. Le résultat est la translation T de 6 unités.

Le contrôle consiste à suivre un sommet non symétrique : après une application de g, il se trouve 3 unités plus loin et de l'autre côté ; après deux applications, il retrouve son côté et son orientation 6 unités plus loin. La figure montre ce mécanisme sur plusieurs motifs.

Pour classer une bordure, on commence par relever sa plus petite translation, puis on teste les symétries supplémentaires. Une grille de motifs seule ne suffit pas : l'orientation de chaque copie fait choisir entre translation simple et réflexion glissée.

En conception décorative, un motif volontairement asymétrique révèle les transformations avec moins d'ambiguïté. Si l'on veut une alternance de part et d'autre de l'axe sans miroir fixe, on préfère la réflexion glissée à la seule translation.

En cristallographie, la notation de Hermann-Mauguin résume les symétries compatibles avec la périodicité unidirectionnelle. Si l'objet se répète selon deux directions indépendantes, la classification pertinente devient celle des groupes de papier peint.

Groupe de frise et groupe de papier peint. Une frise possède une seule direction de translations indépendantes ; un papier peint en possède deux. Une grille périodique dans tout le plan relève donc des groupes de papier peint, même si l'on n'en regarde qu'une bande.

Translation et réflexion glissée. Une translation conserve le côté de l'axe et l'orientation du motif. Pour tout point situé hors de l'axe, une réflexion glissée inverse le côté après le décalage ; les points de l'axe restent sur l'axe. Dans l'exemple, 3 unités seules échouent, mais 3 unités suivies du miroir réussissent.

Frise et motif élémentaire. Le motif est une forme répétée ; le groupe est l'ensemble des transformations qui préservent toute la frise. Changer la couleur d'un seul exemplaire peut détruire une symétrie sans changer le contour du motif.

Une fenêtre finie ne prouve pas la périodicité. Trois répétitions visibles peuvent être accidentelles. Il faut connaître la règle de prolongement de la bande ou observer assez de périodes pour formuler une hypothèse, sans confondre observation et démonstration.

La période annoncée peut ne pas être primitive. Si un décalage de 6 unités conserve la frise, 12 unités la conserve aussi. Il faut rechercher le plus petit déplacement strictement positif ; dans l'exemple, 3 échoue comme translation et 6 est bien la période primitive.

Une réflexion glissée n'a pas d'axe de points fixes. Son miroir intermédiaire utilise l'axe central, mais le glissement déplace chaque point. Il ne faut donc pas marquer cet axe comme une droite laissée point par point immobile.

Sept types ne signifient pas sept dessins. Une infinité de motifs, d'échelles et de périodes réalisent un même type. La classification retient la structure du groupe d'isométries ; un motif trop symétrique peut en outre révéler davantage de transformations que prévu.

translation. Cette notion précise le déplacement qui engendre toutes les répétitions longitudinales d'une frise.

Demi-tour. Cette transformation aide à reconnaître les groupes de frise possédant des rotations de 180°.

Des transformations géométriques en groupes. L'article montre comment la composition des transformations fait apparaître une structure de groupe.

Dix-sept groupes pour paver le plan. Ce prolongement passe de la périodicité d'une bande aux deux directions indépendantes d'un pavage du plan.