Demi-tour

Imaginez une feuille que l'on fait pivoter d'un demi-tour autour d'une punaise. Chaque point, sauf celui situé au centre, arrive exactement de l'autre côté de la punaise, à la même distance. La figure conserve ses longueurs et ses angles, mais elle se retrouve tête-bêche.

La punaise représente le centre. Pour un point M et son image M', ce centre est au milieu du segment MM'. Cette transformation porte aussi le nom de symétrie centrale.

Dans le plan, un demi-tour de centre O est la rotation de centre O et d'angle π radians, soit 180°. Il envoie tout point M sur un point M' tel que O soit le milieu du segment MM'. Autrement dit, les points M, O et M' sont alignés, et les longueurs OM et OM' sont égales. Le centre O est le seul point qui reste fixe.

Dans un repère, notons a et b les coordonnées du centre O, puis x et y celles du point M. Les coordonnées de l'image M' sont données par :Cette écriture exprime directement que O est le milieu de MM'.

Un demi-tour conserve les distances et les angles : c'est une isométrie du plan. L'appliquer deux fois ramène chaque point à sa position initiale. Il est donc d'ordre 2 dans le groupe des isométries. Dans le plan, « demi-tour » et « symétrie centrale » désignent la même transformation.

On cherche l'image du point M de coordonnées (5 ; 4) par le demi-tour de centre O de coordonnées (2 ; 1).
Données :
• centre O : (2 ; 1) ;
• point M : (5 ; 4) ;
• angle de rotation : 180°.

1. Pour l'abscisse de M', on double l'abscisse 2 du centre, puis on retranche l'abscisse 5 de M.

2. Pour l'ordonnée de M', on double l'ordonnée 1 du centre, puis on retranche l'ordonnée 4 de M.

3. L'image cherchée est donc M' de coordonnées (−1 ; −2). Le contrôle consiste à calculer le milieu de M et M' : ses coordonnées sont ((5 − 1) / 2 ; (4 − 2) / 2), soit (2 ; 1). On retrouve bien O. Une représentation du segment MM' rend visibles l'alignement et ce partage en deux moitiés égales.

Sur une figure quadrillée, on construit l'image d'un point en traçant la droite qui passe par ce point et par le centre. On reporte ensuite la même distance de l'autre côté du centre. Cette construction est préférable au rapporteur lorsque seul un demi-tour est demandé.

Dans un repère, la formule des coordonnées évite une construction graphique imprécise. On l'emploie surtout lorsque le centre et le point sont donnés par des nombres, puis on contrôle que le centre est bien le milieu des deux points.

Pour reconnaître une symétrie centrale dans un motif, on cherche un point autour duquel chaque élément possède un correspondant opposé à la même distance. Si les correspondances s'organisent plutôt de part et d'autre d'une droite, il faut tester une symétrie axiale.

Avec une symétrie axiale. Une symétrie axiale s'organise autour d'une droite fixe, tandis qu'un demi-tour s'organise autour d'un point. Un point placé sur l'axe reste fixe dans le premier cas ; hors du centre, aucun point ne reste fixe dans le second.

Avec une rotation quelconque. Le demi-tour est une rotation particulière dont l'angle vaut exactement 180°, modulo un tour complet. Pour un point distinct du centre, une rotation de 90° ne place pas le centre au milieu du segment joignant ce point à son image.

Avec une translation. Une translation non nulle déplace tous les points selon un même vecteur et n'a pas de centre. Pour un demi-tour, le déplacement dépend du point choisi et les segments joignant les points à leurs images passent tous par le même centre.

Le sens de rotation ne distingue rien. Tourner de +180° ou de −180° produit la même image, car ces angles diffèrent d'un tour complet. Il ne faut donc pas chercher deux demi-tours de sens opposés autour d'un même centre.

Le centre doit être fixé. Deux demi-tours de centres différents ne sont pas la même transformation, même si leur angle est identique. Pour identifier le bon centre, on détermine le milieu d'un point et de son image, en choisissant un point distinct de son image.

Le centre est un cas fixe. Si M coïncide avec O, son image M' coïncide aussi avec O et le segment MM' est réduit à un point. La condition de milieu reste valide, mais elle ne donne alors aucune direction.

Revenir au départ en deux applications ne suffit pas. D'autres isométries, notamment les symétries axiales, ont aussi cette propriété. Pour conclure à un demi-tour non trivial, il faut en plus trouver un centre unique et vérifier que ce point est le milieu de chaque paire point-image.

La fiche symétrie centrale approfondit l'autre nom du demi-tour et aide à reconnaître cette transformation dans une configuration géométrique.

La fiche translation permet de comparer un déplacement uniforme à une rotation et d'étudier le résultat de transformations successives.