symétrie orthogonale par rapport à une droite

Imaginez une feuille pliée le long d’une droite. Un point marqué d’un côté vient se poser sur un point situé de l’autre côté. Ces deux points sont à la même distance du pli, sur une direction perpendiculaire à celui-ci.

La symétrie orthogonale décrit précisément ce reflet géométrique. La droite joue le rôle d’axe : elle reste fixe, tandis que chaque point change de côté sans que les longueurs ni les angles de la figure soient modifiés.

Soit une droite appelée axe et notée (D). Lorsque M n’appartient pas à (D), la symétrie orthogonale d’axe (D) lui associe un point M′ de sorte que (D) coupe le segment [MM′] en son milieu et lui soit perpendiculaire. Autrement dit, (D) est la médiatrice de [MM′]. Lorsque M appartient à (D), ce cas est dégéné : M est fixe et son image est ce même point.

Cette application conserve les distances et les angles : c’est une isométrie. Dans le plan, elle inverse l’orientation, donc c’est une isométrie indirecte, aussi appelée antidéplacement. La figure et son image ont la même forme et les mêmes dimensions, mais leurs orientations sont opposées.

Dans l’espace, la même expression désigne la symétrie d’axe (D). Chaque point tourne alors d’un demi-tour, soit d’un angle π, autour de (D). Cette transformation conserve l’orientation de l’espace : c’est une isométrie directe, ou déplacement. La distinction entre le cadre plan et le cadre spatial est donc essentielle.

La construction fait intervenir cinq éléments. L’axe (D) est la droite qui reste fixe. Le point M est le point de départ et M′ son image. Le segment [MM′] relie ces deux points. Enfin, leur milieu I appartient à (D).

Lorsque M n’appartient pas à (D), deux relations déterminent entièrement M′ : le segment [MM′] est perpendiculaire à (D), et les longueurs IM et IM′ sont égales. La première relation fixe la direction du reflet ; la seconde place l’image à la bonne distance de l’axe. Lorsque M appartient à (D), son image est M lui-même. La couleur, l’épaisseur ou la longueur visible de l’axe sur un dessin ne jouent aucun rôle. Ces données suffisent à construire l’image de chaque point, puis celle d’une figure entière.

Dans un repère du plan, on cherche l’image du point M de coordonnées (5 ; 1) par la symétrie d’axe (D), où (D) est la droite d’équation x = 2. Les données sont donc l’abscisse 5, l’ordonnée 1 et l’abscisse 2 de l’axe.

1. La perpendiculaire à (D) passant par M est horizontale, car (D) est verticale.
2. Elle rencontre (D) au point I de coordonnées (2 ; 1).
3. La distance horizontale entre I et M vaut 5 − 2 = 3 unités.
4. On reporte 3 unités de l’autre côté de l’axe, sans changer l’ordonnée.

Le calcul de l’abscisse de l’image, notée x_M′, et de son ordonnée, notée y_M′, s’écrit : On obtient M′(−1 ; 1).

Le contrôle est immédiat : I est le milieu de [MM′], car les abscisses 5 et −1 sont chacune à 3 unités de 2, et [MM′] est bien perpendiculaire à l’axe vertical.

Sur papier, un pli le long de l’axe donne une vérification concrète lorsque la feuille peut être superposée. Sans pliage, on trace la perpendiculaire à l’axe, puis on reporte exactement la même distance de l’autre côté.

Dans un repère, un axe vertical ou horizontal rend le calcul direct : une coordonnée reste inchangée et l’autre se réfléchit autour de la valeur de l’axe. Pour un axe oblique, la projection perpendiculaire est préférable à une lecture approximative sur le quadrillage.

Pour contrôler une construction, on ne se contente pas d’une ressemblance visuelle. On vérifie que chaque segment joignant un point à son image est perpendiculaire à l’axe et que son milieu appartient à cet axe.

Avec la symétrie centrale dans le plan. La symétrie centrale a un point fixe pour centre et correspond à un demi-tour. La symétrie orthogonale plane a une droite entière de points fixes. Une figure retournée autour d’un seul point relève donc de la symétrie centrale.

Avec la projection orthogonale. La projection envoie M sur son pied I situé sur la droite, tandis que, si M n’appartient pas à l’axe, la symétrie l’envoie sur M′, de l’autre côté. Si M appartient à l’axe, sa projection et son symétrique sont tous deux égaux à M. Pour un point hors de l’axe, si le résultat appartient à l’axe, il s’agit d’une projection, pas d’une symétrie.

Avec une translation. Une translation déplace tous les points selon le même vecteur et n’a aucun point fixe, sauf si elle est nulle. Ici, le déplacement de M dépend de sa position par rapport à l’axe, dont tous les points restent fixes.

Point sur l’axe. Si M appartient à (D), alors M′ = M. Le segment [MM′] est réduit à un point : il ne possède plus de direction perpendiculaire observable. Il faut appliquer directement la règle des points fixes plutôt que chercher une médiatrice ordinaire de ce segment dégénéré.

Changement de dimension. Dans le plan, la symétrie d’axe renverse l’orientation. Dans l’espace, la symétrie par rapport à une droite est un demi-tour autour de cette droite et conserve l’orientation. Il faut toujours préciser si les points vivent dans le plan ou dans l’espace avant de parler de déplacement ou d’antidéplacement.

Axe seulement suggéré par le dessin. Deux points situés de part et d’autre d’une droite ne sont pas nécessairement symétriques. Si leur segment n’est pas perpendiculaire à l’axe ou si son milieu n’est pas sur l’axe, il faut reprendre la construction avec ces deux tests.

Figure non superposable par glissement dans le plan. Une réflexion conserve toutes les longueurs, mais inverse l’orientation. On ne doit donc pas conclure qu’une translation ou une rotation plane suffit à superposer une figure asymétrique à son reflet.

symétrie orthogonale — Pour replacer la symétrie d’axe parmi les transformations définies à l’aide de l’orthogonalité.

Médiatrice — Pour approfondir la droite qui partage un segment en deux parties égales et perpendiculaires.