GéométrieNotion · Glossaire
symétrie miroir
La symétrie miroir, également appelée réflexion géométrique, est une isométrie indirecte, c'est-à-dire un antidéplacement. Dans le plan, elle se réduit à la réflexion orthogonale par rapport à une droite : tout point est envoyé sur son symétrique perpendiculaire par rapport à cette droite. Dans l'espace à trois dimensions, la symétrie miroir correspond à la réflexion orthogonale par rapport à un plan : tout point est envoyé sur son symétrique par rapport à ce plan.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’axe dans le plan et le plan de réflexion dans l’espace.
- Construire l’image d’un triangle et contrôler ses coordonnées.
- Distinguer la réflexion d’une symétrie centrale et d’une translation.
En clair
Imaginez un triangle tracé à droite d’une ligne verticale. Son reflet apparaît à gauche, à la même distance de la ligne. Chaque sommet rejoint son image par un segment perpendiculaire à cette ligne, qui en coupe le trajet au milieu. La forme et les longueurs ne changent pas, mais l’ordre gauche-droite s’inverse. Dans l’espace, une surface plane joue le même rôle que la ligne.
Définition
Une symétrie miroir, ou réflexion géométrique, est une transformation qui conserve les distances tout en inversant l’orientation. C’est pourquoi elle est qualifiée d’isométrie indirecte, ou d’antidéplacement.
Dans le plan, la réflexion est définie par une droite appelée axe. Pour tout point M, son image M′ est telle que le segment MM′ est perpendiculaire à l’axe et que son milieu appartient à cet axe. Un point situé sur l’axe reste fixe. Ces deux conditions déterminent une image unique. Pour l’axe vertical du repère, un point de coordonnées (x, y) devient : seule l’abscisse change de signe.
Dans l’espace à trois dimensions, la droite est remplacée par un plan de réflexion. Le segment joignant un point à son image est perpendiculaire à ce plan, et son milieu s’y trouve. Tous les points du plan restent fixes. Dans les deux cadres, appliquer deux fois la même réflexion ramène chaque point à sa position initiale.
Un exemple, pas à pas
On réfléchit un triangle par rapport à l’axe vertical du repère.
Données :
• axe de réflexion : x = 0 ;
• sommets : A(3, 1), B(5, 2) et C(4, 4).
Données :
• axe de réflexion : x = 0 ;
• sommets : A(3, 1), B(5, 2) et C(4, 4).
1. Pour chaque sommet, tracez mentalement l’horizontale qui rejoint l’axe. L’ordonnée reste donc inchangée.
2. Placez l’image à la même distance de l’autre côté de l’axe. La règle appliquée aux coordonnées est . On obtient A′(−3, 1), B′(−5, 2) et C′(−4, 4).
3. Reliez A′, B′ et C′ dans le même ordre que les sommets initiaux. Le triangle image a les mêmes longueurs : par exemple, AB = √5 et A′B′ = √5.
Le contrôle se refait sommet par sommet : le milieu de A et A′ est (0, 1), celui de B et B′ est (0, 2), et celui de C et C′ est (0, 4). Chacun appartient à l’axe x = 0. La figure associée rend visibles ces distances égales et l’inversion gauche-droite.
En pratique
En construction géométrique, on trace par chaque point la perpendiculaire à l’axe, puis on reporte la même distance de l’autre côté. Si tous les points doivent se déplacer dans une même direction et d’une même longueur, une translation est l’outil adapté.
Dans un repère, on choisit une règle de coordonnées correspondant à l’axe. Pour l’axe vertical x = 0, le changement de signe de l’abscisse suffit ; pour un axe oblique, la construction perpendiculaire évite d’appliquer cette règle hors de son cadre.
Pour tester si deux figures sont en miroir, on vérifie à la fois les longueurs, les angles droits avec l’axe et les milieux placés sur l’axe. Une simple ressemblance visuelle ne suffit pas.
À ne pas confondre
Symétrie centrale. Elle est définie par un point, non par une droite. Le centre est le milieu de chaque paire formée par un point et son image. Dans le plan, un demi-tour autour de ce centre conserve l’orientation, alors qu’une réflexion par rapport à une droite l’inverse.
Translation. Tous les points y subissent exactement le même déplacement. Dans une réflexion, la direction et la longueur du trajet dépendent de la position par rapport à l’axe : un point de l’axe ne bouge pas, tandis qu’un point éloigné le traverse perpendiculairement.
Limites et pièges
Axe ou plan ? Dans une figure plane, le miroir mathématique est une droite. Dans l’espace à trois dimensions, c’est un plan. Si une représentation en perspective fait apparaître une simple ligne, il faut identifier l’objet géométrique décrit avant de construire l’image.
Point sur le miroir. Sa distance à l’axe ou au plan vaut zéro : son image est donc le point lui-même. Chercher deux positions distinctes dans ce cas est un faux problème.
Formule dépendante du repère. La règle (x, y) ↦ (−x, y) vaut pour la réflexion d’axe x = 0. Si l’axe est déplacé ou incliné, son emploi produit des points erronés ; il faut revenir aux perpendiculaires et aux milieux, ou établir la formule propre à cet axe.
Deux réflexions successives. Refaire la même réflexion annule la première. Avec deux axes différents, la transformation obtenue n’est généralement pas une réflexion unique ; il faut étudier les deux étapes au lieu d’effacer automatiquement le résultat.
Pour aller plus loin
La réflexion appartient à une famille de transformations qui conservent les distances. Deux notions voisines permettent de préciser ce qui change lorsque le miroir disparaît.
Symétrie centrale — Pour comparer une réflexion définie par une droite à un demi-tour défini par un point.
Translation — Pour étudier une isométrie où tous les points suivent le même vecteur sans inversion miroir.
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