symétrie orthogonale par rapport à un plan

Imaginez une vitre plane qui traverse l’espace. Un point placé d’un côté possède un reflet de l’autre côté, sur la droite qui rencontre la vitre à angle droit. Le point et son reflet sont à la même distance de la vitre.

Le plan joue donc le rôle d’un miroir sans épaisseur. Les longueurs et les angles ne changent pas, mais l’orientation est renversée, comme lorsqu’un objet et son image ne se superposent qu’après un retournement.

Soit un plan nommé P dans l’espace. À tout point M, la symétrie orthogonale par rapport à P associe un unique point M’. Si M n’appartient pas à P, le segment [MM’] est perpendiculaire à P et son milieu appartient à P. Autrement dit, P est alors le plan médiateur de [MM’]. Si M appartient déjà à P, son image est M lui-même.

Dans un repère orthonormé où P a pour équation z = 0, un point de coordonnées (x, y, z) a pour image le point de coordonnées (x, y, −z). Seule la coordonnée mesurée perpendiculairement au plan change de signe. Cette transformation est une isométrie : elle conserve les distances, donc aussi les angles. C’est cependant un antidéplacement, ou isométrie indirecte, car elle inverse l’orientation de l’espace. L’appliquer deux fois redonne chaque point de départ.

La construction réunit cinq éléments. Le plan P est le miroir géométrique. Le point M est le point de départ. Si M n’appartient pas à P, la droite passant par M et perpendiculaire à P fixe la seule direction possible pour chercher l’image. Son intersection H avec P est à la fois le pied de la perpendiculaire et le milieu du segment [MM’]. Enfin, M’ est placé sur cette droite, de l’autre côté de P, avec MH = HM’. Si M appartient à P, son image est directement M’ = M.

Le choix de P et de M suffit ainsi à déterminer H, puis M’. L’orientation du dessin, sa couleur ou son échelle ne définissent pas la transformation. Ces données permettent de construire l’image et de contrôler la perpendicularité, le milieu et l’égalité des distances au plan.

Dans un repère orthonormé, prenons le plan P d’équation z = 0 et le point M de coordonnées (2, −1, 3). Les données sont donc les trois coordonnées de M et l’équation de P. La droite perpendiculaire au plan relie le point à son image en passant par H.

1. La perpendiculaire à P passant par M est parallèle à l’axe des z. Elle coupe P au point H de coordonnées (2, −1, 0).

2. Le point H doit être le milieu de [MM’]. On conserve donc les coordonnées x = 2 et y = −1, puis on place M’ trois unités de l’autre côté du plan.

3. L’image obtenue est M’ = (2, −1, −3). Les distances perpendiculaires valent MH = 3 et HM’ = 3, tandis que MM’ = 6.

4. Le contrôle est refaisable : le milieu de M et M’ a pour coordonnées (2, −1, 0), donc il s’agit bien de H, et le segment [MM’] est parallèle à l’axe des z, donc perpendiculaire à P.

Pour construire l’image d’un point, on trace la perpendiculaire au plan, puis on reporte de l’autre côté la distance mesurée jusqu’au plan. Une projection orthogonale s’arrête au pied H ; on poursuit jusqu’à M’ lorsque l’on cherche le symétrique.

Dans un repère adapté au plan z = 0, le calcul se réduit au changement de signe de z. Pour un plan d’équation quelconque, il faut plutôt utiliser un vecteur normal au plan afin de suivre la bonne direction perpendiculaire.

Pour vérifier une construction, deux tests se complètent : [MM’] doit être perpendiculaire au plan et son milieu doit appartenir au plan. Une simple égalité des distances au plan ne suffit pas si les deux points ne sont pas alignés sur une même perpendiculaire.

La projection orthogonale sur un plan envoie M sur le pied H situé dans le plan. La symétrie poursuit la même perpendiculaire jusqu’à M’, de sorte que H soit le milieu de [MM’]. Pour M = (2, −1, 3) et z = 0, la projection est H = (2, −1, 0), tandis que le symétrique est M’ = (2, −1, −3).

La symétrie centrale utilise un point comme centre et inverse les trois coordonnées autour de ce point. Avec l’origine pour centre, (2, −1, 3) devient (−2, 1, −3), et non (2, −1, −3).

Un plan de symétrie d’un objet est une propriété de cet objet : sa réflexion par rapport au plan le laisse globalement inchangé. La symétrie orthogonale par rapport à un plan désigne, elle, la transformation appliquée aux points, que l’objet obtenu coïncide ou non avec l’objet initial.

Un point situé sur P est un cas fixe, pas une exception à la définition. La distance au plan vaut alors 0, le segment [MM’] est réduit à un point et M’ = M. Il ne faut pas chercher artificiellement un point de l’autre côté.

Pour un plan passant par un point A et muni d’un vecteur normal non nul n, l’image de M s’écrit : Le dénominateur est indispensable lorsque n n’est pas unitaire. Omettre ce facteur donne une image dépendant du choix de la longueur du vecteur normal.

La règle (x, y, z) ↦ (x, y, −z) n’est valable que dans un repère orthonormé où le plan est z = 0. Si le plan est déplacé ou incliné, changer seulement le signe de z produit généralement un point dont le milieu n’appartient pas au plan choisi.

La conservation des distances ne signifie pas conservation de l’orientation. Une seule réflexion plane est indirecte : elle renverse l’orientation. Pour contrôler une affirmation d’invariance, il faut donc distinguer les mesures conservées de l’ordre orienté des directions.

La fiche plan médiateur approfondit le lieu des points équidistants des deux extrémités d’un segment, propriété qui caractérise ici le plan miroir.

La fiche symétrie orthogonale replace cette réflexion de l’espace dans la famille plus large des symétries définies par une perpendicularité.

La fiche symétrie centrale montre ce qui change lorsque le milieu commun est un point fixé plutôt qu’un plan.