GéométrieObjet géométrique · Glossaire
plan médiateur
Le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Il peut également être défini comme l'ensemble de tous les points de l'espace qui sont équidistants des deux extrémités du segment. Ces deux propriétés — orthogonalité au segment en son milieu, et équidistance aux extrémités — sont équivalentes et caractérisent ce plan de manière unique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la perpendicularité au milieu et l’équidistance aux extrémités.
- Déterminer le plan médiateur d’un segment dans un repère orthonormé.
- Distinguer le plan médiateur de la médiatrice et d’un plan quelconque passant par le milieu.
- Reconnaître les cas où la construction ou un calcul naïf ne convient pas.
En clair
Imaginez deux points dans l’espace, comme les extrémités d’une tige. Le plan médiateur est une surface plane placée exactement à mi-chemin entre eux et coupant la tige à angle droit.
Tout point posé sur ce plan est aussi loin d’une extrémité que de l’autre. Si l’on quitte le plan d’un côté, une extrémité devient plus proche ; de l’autre côté, c’est l’extrémité opposée.
Définition
Soient deux points distincts A et B de l’espace. Leur segment a un unique milieu, noté M. Le plan médiateur du segment [AB] est le plan qui passe par M et dont une direction normale est celle de la droite (AB). Il est donc perpendiculaire à cette droite.
Un point quelconque de l’espace, noté X, appartient à ce plan exactement lorsque ses distances à A et à B sont égales. Cette caractérisation s’écrit . Elle équivaut au critère suivant, où le point désigne le produit scalaire :
Le premier critère décrit un lieu de points équidistants ; le second exprime l’orthogonalité. Les deux déterminent le même plan et montrent son unicité. Il est indispensable que A et B soient distincts : si les deux extrémités coïncident, toutes les distances sont égales et aucune direction normale n’est imposée.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent le plan médiateur. Les extrémités distinctes A et B fixent le segment. Leur milieu M impose l’endroit où le plan coupe ce segment. La direction de la droite (AB) fournit une normale au plan. Enfin, tous les points X du plan vérifient l’équidistance XA = XB.
Le milieu dépend des deux extrémités, puis le plan dépend à la fois de ce milieu et de la direction du segment. Ces données suffisent à construire un plan unique ou à écrire son équation dans un repère. La taille du dessin, son orientation sur la page et la portion de plan représentée ne font pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A de coordonnées (−2 ; 0 ; 0) et B de coordonnées (4 ; 0 ; 0). On veut déterminer le plan médiateur de [AB], puis contrôler qu’un point choisi sur ce plan est bien équidistant de A et de B.
1. Le milieu M a pour coordonnées ((−2 + 4) / 2 ; 0 ; 0), soit (1 ; 0 ; 0).
2. Le segment est dirigé selon l’axe des abscisses. Le plan recherché passe par M et lui est perpendiculaire : son équation est .
3. Prenons le point P de coordonnées (1 ; 3 ; 0), qui vérifie cette équation. Les carrés de ses distances aux extrémités valent et .
Ainsi, PA = PB = 3√2 unités. Le contrôle est refaisable avec n’importe quel point de coordonnées (1 ; y ; z) : les deux distances au carré contiennent le même terme 9 + y2 + z2. La figure matérialise cette égalité et l’intersection perpendiculaire au milieu.
En pratique
Pour chercher les positions situées à la même distance de deux points dans l’espace, on construit leur plan médiateur. Si le problème est entièrement contenu dans un plan, la médiatrice du segment suffit à la place.
Pour décider de quel côté se trouve un point, on compare ses distances aux deux extrémités. L’égalité place le point sur le plan médiateur ; une distance strictement plus petite indique le demi-espace contenant l’extrémité correspondante.
Dans un repère orthonormé, le calcul peut éviter une construction. On détermine le milieu du segment, puis on utilise le vecteur qui relie les extrémités comme vecteur normal du plan.
À ne pas confondre
Médiatrice d’un segment. Dans un plan, le lieu des points équidistants des extrémités est une droite. Dans l’espace, ce lieu est un plan. Pour A(−2 ; 0 ; 0) et B(4 ; 0 ; 0), la médiatrice dans le plan z = 0 est la droite x = 1 et z = 0, tandis que le plan médiateur est tout le plan x = 1.
Plan passant par le milieu. Passer par M ne suffit pas. Le plan doit aussi être perpendiculaire à (AB). Un plan incliné qui contient M mais dont la normale n’est pas parallèle à (AB) contient généralement des points dont les distances à A et à B diffèrent.
Limites et pièges
Extrémités confondues. Si A = B, le segment est réduit à un point. L’égalité XA = XB est alors vraie pour tout point X, tandis que la direction de (AB) disparaît. Il n’existe donc pas de plan médiateur unique.
Dessin en perspective. Un angle droit de l’espace peut paraître oblique sur la page. Il faut contrôler l’orthogonalité avec les directions ou un produit scalaire, et non avec la seule apparence du dessin.
Repère non orthonormé. La formule usuelle de distance à partir des seules différences de coordonnées n’est plus directement valable. Il faut employer le produit scalaire associé au repère avant de tester l’équidistance.
Pour aller plus loin
Le plan médiateur partage l’espace en deux demi-espaces : dans l’un, les points sont plus proches de A ; dans l’autre, ils sont plus proches de B. Cette frontière d’équidistance est la version tridimensionnelle d’une idée générale : comparer des distances pour découper un espace en zones de proximité.
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