pavage apériodique

Imaginez un sol entièrement couvert de tuiles. Dans un pavage périodique, on peut faire glisser tout le dessin d'une certaine distance et retrouver exactement la même disposition. Le schéma illustre cette répétition et son absence, sans faire d'une fenêtre finie une preuve.

Un pavage apériodique déjoue ce glissement global : aucune translation non nulle ne superpose toute sa disposition à elle-même.

Un pavage recouvre le plan, ou plus généralement l'espace, au moyen de tuiles. Une translation déplace chaque point d'une même distance dans une même direction. Un pavage est périodique lorsqu'il existe une translation non nulle qui superpose toute sa disposition à elle-même ; il possède alors une symétrie de translation.

Un pavage est apériodique lorsqu'aucune translation non nulle ne laisse le pavage entier inchangé. Des motifs locaux peuvent donc se ressembler ou réapparaître sans constituer une période globale.

La notion peut qualifier une disposition particulière, comme un pavage de Penrose, tandis que les travaux sur les dominos de Wang interrogent les possibilités offertes par un ensemble de tuiles. Cette distinction entre une disposition et les tuiles autorisées est essentielle pour formuler correctement le problème.

Considérons une disposition de tuiles et testons un déplacement candidat, noté u. Le but est de savoir si ce même glissement superpose le pavage entier à lui-même.

Données.
Objet observé : une fenêtre de 6 colonnes sur 4 lignes de carrés de 48 pixels, colorés en alternance, sauf un carré jaune en colonne 4, ligne 3 à la place du carré blanc attendu.
Transformation testée : la translation non nulle u=(96,96), soit deux carrés vers la droite et deux vers le bas.
Constat à vérifier : le carré blanc situé en colonne 2, ligne 1 devrait coïncider avec le carré jaune de colonne 4, ligne 3 ; ces deux couleurs diffèrent, donc u échoue déjà sur cette paire.

Étape 1. On choisit une tuile repère et on la déplace selon u. Si son image ne coïncide pas avec une tuile de même disposition, u n'est pas une période.

Étape 2. Une première coïncidence ne suffit pas. On élargit la zone comparée : au premier raccord ou à la première tuile qui diffère, la translation candidate est rejetée.

Étape 3. Pour conclure à une période, la coïncidence doit valoir sur tout le pavage, pas seulement dans la zone dessinée. Pour conclure à l'apériodicité, il faut exclure toute translation non nulle.

Contrôle. Une fenêtre finie peut réfuter un candidat u dès qu'une différence apparaît. Elle ne peut pas, à elle seule, certifier l'absence de tous les candidats. Les pavages de Penrose cités dans la définition sont des exemples établis de pavages apériodiques du plan.

Devant un dessin de pavage, on cherche d'abord une translation qui reproduit toute la disposition. Si un décalage fonctionne seulement sur quelques tuiles, on agrandit la zone comparée au lieu de conclure à une période.

Pour étudier un ensemble de dominos de Wang, la question porte sur les pavages que ces tuiles peuvent former. Il faut distinguer l'observation d'une disposition particulière de l'affirmation portant sur toutes les dispositions autorisées.

Pour relier mathématiques et matière, les quasi-cristaux offrent le contexte mentionné par la définition : leur structure atomique présente une organisation non périodique. On compare alors l'organisation globale, plutôt que l'apparence isolée d'un petit fragment.

Pavage apériodique et simple fragment sans motif visible. Un fragment irrégulier peut appartenir à un pavage périodique dont la période dépasse la fenêtre observée. Le critère porte sur la disposition entière et sur toutes les translations non nulles.

Pavage apériodique et ensemble de tuiles. Le premier est une disposition ; le second est le matériel et les règles qui autorisent des dispositions. Un dessin sans période ne suffit donc pas à décrire toutes les possibilités de l'ensemble employé.

Pavage et quasi-cristal. Un pavage est un objet géométrique du plan ou de l'espace. Un quasi-cristal est ici cité pour sa structure atomique de même type non périodique ; les deux objets ne sont pas identiques.

Une fenêtre finie ne prouve pas l'apériodicité. Elle peut montrer qu'une translation candidate échoue, mais une période plus grande peut rester hors champ. Il faut un raisonnement valable pour le pavage entier.

Un motif local répété n'est pas une période. Deux fragments identiques peuvent apparaître à des endroits différents. Il faut vérifier que la même translation superpose toute la disposition, raccords compris.

La translation est le test décisif. Une ressemblance obtenue en tournant ou en réfléchissant un fragment n'établit pas une période de translation. Il faut appliquer partout le même déplacement, sans rotation ni miroir.

Une zone périodique ne décide pas du statut du pavage. Une régularité locale, quelle que soit la taille de la zone observée, ne constitue pas à elle seule une symétrie de translation du pavage entier.

Le pavage de Penrose donne un exemple emblématique de pavage apériodique du plan et permet d'approfondir cette organisation sans période de translation.

Le problème des dominos de Wang prolonge la question historique : déterminer ce que les pavages autorisés par un ensemble de tuiles permettent d'affirmer sur la périodicité.