pavage presque périodique

Imaginez un sol couvert de pièces géométriques, sans trou ni chevauchement. Aucun déplacement ne laisse tout le dessin inchangé. Pourtant, pour chaque petit morceau du dessin, il existe une distance propre à ce morceau : dans toute zone assez grande, on en retrouve une copie exacte.

Ce double caractère est essentiel : le pavage n'est pas une répétition simple, mais il n'est pas désordonné. Sa règle produit un ordre à longue portée. Les pavages de Penrose en donnent un exemple célèbre, et des structures de même type apparaissent dans les quasi-cristaux.

Un pavage presque périodique, ou quasi-périodique, recouvre le plan avec des formes qui s'ajustent sans laisser de vide ni se superposer. Il est non périodique : aucune translation non nulle du plan ne laisse l'ensemble du pavage inchangé. Il ne suffit donc pas de déplacer un motif élémentaire pour reconstruire toute la figure.

La non-périodicité ne signifie pas l'absence d'organisation. Pour toute portion finie P, c'est-à-dire tout morceau limité du pavage, il existe un rayon R(P) tel que tout disque de ce rayon contienne une occurrence de P. Chaque morceau revient donc avec une récurrence uniforme, et pas seulement une infinité de fois. Cette répétition locale, jointe à l'impossibilité d'une répétition globale par translation, constitue l'ordre à longue portée.

Le terme est appliqué à des constructions géométriques comme les pavages décrits et construits par Roger Penrose dans les années 1970. La même idée intervient pour décrire des structures observées dans les quasi-cristaux, découverts expérimentalement dans les années 1980. Les configurations géométriques proches étudiées par Johannes Kepler dans L'Harmonie du Monde constituent un antécédent mentionné par la source, sans être identifiées comme ces pavages eux-mêmes.

Considérons une portion finie P découpée dans un pavage quasi-périodique. Pour vérifier ce que signifie sa récurrence, on ne cherche pas une copie de tout le pavage, mais seulement le même agencement local.

Données. La portion P est limitée ; elle possède une forme et un agencement observables. Le pavage complet contient P en un premier emplacement, puis en un deuxième emplacement distinct.

Étape 1. On relève les contours et les relations entre les pièces de P, sans prolonger arbitrairement le motif au-delà de sa frontière.

Étape 2. On parcourt le pavage et l'on repère une autre portion qui présente exactement le même agencement local. La copie n'a pas besoin de s'inscrire dans une répétition globale du pavage.

Étape 3. Dans un pavage quasi-périodique, l'infinité et la répartition des occurrences ne sont pas déduites de ces deux repérages : elles découlent de la propriété théorique de récurrence uniforme, selon laquelle une zone assez grande contient toujours une copie de P. Aucune translation unique ne recopie pour autant tout le pavage.

Le schéma permet de vérifier visuellement deux occurrences de P. La récurrence uniforme, donc l'existence d'une infinité d'occurrences, vient de la propriété théorique du pavage ; le pavage entier ne se répète pas par translation. Le schéma associé ne représente qu'une portion et ses occurrences, pas le pavage complet.

Pour étudier une construction géométrique, on observe d'abord une portion limitée, puis on recherche le même agencement plus loin. Ce geste aide à distinguer une répétition locale d'un motif global répété par translation.

Pour relier la géométrie aux matériaux, on examine plutôt l'organisation à longue portée d'un quasi-cristal. Le critère est alors la présence de structures quasi-périodiques, et non l'apparence régulière d'un seul fragment.

Pavage périodique. Dans un pavage périodique, une translation non nulle reproduit le pavage entier ; dans un pavage presque périodique, cette reproduction globale n'existe pas. Un déplacement qui ramène un grand motif local ne suffit donc pas à établir la périodicité : il faut que le pavage complet soit inchangé.

Une fenêtre finie ne prouve pas la propriété globale. Sur une image limitée, un pavage presque périodique peut sembler périodique, parce qu'un motif local y revient. Le symptôme est une conclusion fondée sur quelques répétitions seulement. Il faut distinguer cette observation de l'absence de toute translation qui préserverait le pavage complet.

« Presque périodique » ne veut pas dire approximativement périodique. Le mot ne décrit pas une tolérance de mesure ni un dessin simplement irrégulier. La propriété porte exactement sur deux faits : chaque portion finie se répète une infinité de fois, tandis que le pavage entier n'a pas de période de translation.

Le lien avec les quasi-cristaux reste une application. La source indique que des structures quasi-périodiques y ont été mises en évidence ; elle ne dit pas que tout quasi-cristal est un pavage plan ni que toute structure matérielle se réduit à une figure géométrique bidimensionnelle.

Le glossaire « pavage non périodique » prolonge directement cette fiche : il permet de comparer le refus d'une répétition globale avec la récurrence des portions finies, qui apporte ici l'ordre à longue portée.