GéométrieNotion · Glossaire
pavage non périodique
Un pavage non périodique est un pavage du plan qui ne présente aucune périodicité par translation, c'est-à-dire qu'il n'existe aucun vecteur non nul permettant de superposer exactement le pavage à lui-même par translation. Cette catégorie englobe deux types distincts : les pavages apériodiques, qui ne présentent aucune périodicité par translation sans que cela exclue d'autres symétries, et les pavages quasi-périodiques, qui, sans être périodiques, présentent néanmoins une certaine forme d'ordre à longue distance.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir l'absence de périodicité par translation.
- Tester un vecteur candidat à partir d'une discordance observable.
- Distinguer non-périodicité, périodicité, hasard et quasi-périodicité.
- Repérer les limites d'un contrôle effectué sur un extrait fini.
En clair
Imaginez un sol entièrement couvert de pièces, sans trou ni chevauchement. Dans un carrelage ordinaire, on peut décaler tout le motif d'une certaine distance et retrouver exactement le même dessin. Dans un pavage non périodique, aucun déplacement rectiligne non nul ne produit cette coïncidence globale. Des formes peuvent pourtant réapparaître localement, parfois très loin : l'absence de répétition par translation ne signifie donc ni désordre ni hasard.
Définition
Un pavage est une couverture du plan par des tuiles, sans trou ni chevauchement de leurs intérieurs. Une translation déplace chaque point de la même manière. Le vecteur de translation, noté , décrit ce déplacement. Un pavage est périodique par translation s'il existe un vecteur non nul qui le laisse entièrement inchangé. Il est non périodique lorsqu'aucun tel vecteur n'existe. Le critère porte sur le pavage tout entier, et non sur une région finie.
La définition source distingue les pavages apériodiques et les pavages quasi-périodiques. Dans cette convention, les premiers n'ont aucune périodicité, tandis que les seconds restent non périodiques mais possèdent un ordre à longue distance. Le vocabulaire varie cependant selon les textes : « apériodique » peut qualifier un pavage particulier ou un ensemble de tuiles qui n'autorise que des pavages non périodiques. « Quasi-périodique » ajoute une organisation structurée ; ce n'est pas un synonyme de désordonné.
Un exemple, pas à pas
On examine un pavage décoré et un déplacement candidat. Les données sont les suivantes :
• une tuile repère porte une diagonale montante ;
• le vecteur candidat décale le pavage de deux largeurs de tuile vers la droite ;
• à l'arrivée, la tuile porte une diagonale descendante.
• une tuile repère porte une diagonale montante ;
• le vecteur candidat décale le pavage de deux largeurs de tuile vers la droite ;
• à l'arrivée, la tuile porte une diagonale descendante.
1. Translater mentalement chaque tuile selon le vecteur .
2. Comparer la tuile repère avec celle qui occupe sa position d'arrivée.
3. Constater que les deux diagonales n'ont pas la même orientation.
4. Rejeter comme période de translation.
2. Comparer la tuile repère avec celle qui occupe sa position d'arrivée.
3. Constater que les deux diagonales n'ont pas la même orientation.
4. Rejeter comme période de translation.
Le contrôle est refaisable en superposant les deux motifs : une seule discordance suffit à invalider ce déplacement. Cette vérification ne prouve pas encore que le pavage est non périodique. Pour conclure, il faut exclure tous les vecteurs non nuls possibles, au moyen d'un argument portant sur la structure entière. Une comparaison graphique rend visible la discordance utilisée dans ce test local.
En pratique
Tester une répétition annoncée. Lorsqu'un motif semble se répéter, on choisit deux occurrences et on relève leur déplacement. On compare ensuite toutes les tuiles, orientations et décorations. La moindre discordance écarte ce déplacement ; une coïncidence limitée à une zone ne suffit pas.
Décrire l'ordre observé. Si aucune translation globale ne fonctionne mais que des configurations réapparaissent à différentes échelles ou distances, le vocabulaire de la quasi-périodicité peut être pertinent, mais cette observation ne suffit pas à conclure : il faut vérifier une définition ou une propriété structurelle précise. Si les répétitions suivent un même décalage partout, il faut plutôt parler de pavage périodique.
Contrôler une construction. Sur un dessin fini, on recherche des vecteurs candidats et des discordances. Une bordure peut interrompre artificiellement une répétition ; il faut donc séparer l'effet du découpage de la propriété du pavage infini décrit par la construction.
À ne pas confondre
Pavage périodique. Il possède au moins un vecteur de translation non nul qui superpose exactement l'ensemble du pavage à lui-même. Une répétition identique dans une seule direction suffit à le rendre périodique par translation ; un pavage non périodique n'en possède aucune.
Motif irrégulier ou aléatoire. L'absence de période ne permet pas de conclure au hasard. Un pavage quasi-périodique peut montrer un ordre à longue distance sans répétition par un décalage unique. Le critère décisif reste la superposition globale par translation, pas l'impression visuelle.
Symétrie de rotation. Tourner et translater sont deux transformations différentes. Un pavage peut présenter une organisation autour d'un centre sans être invariant par un vecteur non nul. Pour tester la périodicité visée ici, toutes les pièces doivent être déplacées parallèlement, sans rotation.
Limites et pièges
Un extrait fini ne décide pas la propriété globale. Une grande zone peut sembler se répéter alors qu'une discordance apparaît plus loin. Inversement, une bordure coupée peut masquer une période réelle. Il faut utiliser la règle de construction du pavage infini ou une preuve valable partout.
Un vecteur nul ne compte pas. Le déplacement nul superpose toujours un pavage à lui-même, quelle que soit sa structure. L'existence recherchée porte impérativement sur un vecteur non nul ; oublier cette condition rendrait tous les pavages périodiques.
Un seul échec ne suffit pas. Une discordance élimine le vecteur testé, mais un autre déplacement peut encore fonctionner. Pour établir la non-périodicité, il faut exclure chaque vecteur non nul, et non vérifier seulement les décalages les plus visibles.
Le mot « apériodique » dépend du contexte. Il peut décrire un pavage sans période ou une famille de tuiles qui force cette absence de période. Il faut vérifier si le texte parle d'une réalisation particulière ou des pavages autorisés par un jeu de tuiles.
Pour aller plus loin
Le glossaire translation précise la transformation dont il faut rechercher l'invariance pour décider si un pavage possède une période.
L'article Éblouissants pavages de Penrose prolonge la notion par une famille emblématique de pavages non périodiques.
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