pavage de l'espace

Imaginez des cubes empilés en rangées puis en couches, comme si tout l’espace était une immense grille en trois dimensions. Aucun vide ne subsiste et deux cubes voisins ne se chevauchent pas par leur intérieur. Ils peuvent seulement se toucher par une face, une arête ou un sommet. Une telle couverture est un pavage de l’espace : les pièces remplissent tout le volume disponible, au lieu de couvrir seulement une surface plane.

Dans un espace métrique noté E, un pavage est une collection de parties appelées pavés. Chaque pavé est fermé et possède un intérieur non vide. La réunion de tous les pavés est E : aucun point de l’espace ne reste découvert. Les intérieurs de deux pavés distincts sont disjoints. Cette condition interdit qu’un même point soit intérieur à deux pavés, mais elle ne suffit pas à imposer que tous leurs points communs appartiennent à leurs deux frontières. Lorsque les intersections sont contenues dans les frontières des pavés, des voisins peuvent partager une face, une arête ou un sommet sans se recouvrir intérieurement.

En dimension 3, les pavés peuvent notamment être des polyèdres. Un pavage par translation répète un même polyèdre en le déplaçant, sans le tourner ni le déformer. Evgraf Fedorov (1853–1919) a établi que les paralléloèdres convexes de dimension 3 se répartissent en cinq types combinatoires : le parallélépipède, le prisme hexagonal, le dodécaèdre rhombique, le dodécaèdre allongé et l’octaèdre tronqué.

Le pavage de l’espace prolonge celui du plan en ajoutant une troisième direction. Dans un espace de dimension n, la même idée conduit aux parallélotopes généralisés.

Un pavage réunit quatre éléments nécessaires. L’espace métrique E est le domaine entier à couvrir. Les pavés sont les parties fermées qui composent la couverture. Leur intérieur non vide donne à chaque pavé une véritable étendue. Lorsque l’on impose en plus que l’intersection de deux pavés soit contenue dans leurs frontières, celles-ci portent les contacts entre voisins. Enfin, la collection organise toutes ces parties de sorte que leur réunion soit E et que leurs intérieurs restent deux à deux disjoints.

La couverture dépend donc à la fois des pavés et de leur placement : une bonne forme mal disposée peut laisser un vide ou créer un chevauchement. Dans un pavage par translation, les placements sont obtenus par de simples déplacements. La couleur, l’orientation du dessin ou l’échelle d’une représentation ne définissent pas le pavage ; ce sont la couverture de E et l’absence de recouvrement des intérieurs qui tranchent.

Prenons le cube unité C, formé des points dont chacune des trois coordonnées est comprise entre 0 et 1. Les données sont C, trois entiers relatifs i, j et k, et une translation de vecteur (i, j, k).

1. Pour chaque triplet d’entiers (i, j, k), on construit le cube translaté C_i,j,k :

2. Le point de coordonnées (2,3 ; −0,4 ; 1,8) appartient au cube C_2,−1,1, car ses coordonnées sont respectivement dans [2, 3], [−1, 0] et [1, 2]. Le même choix d’intervalles entiers place tout point de l’espace dans au moins un cube.

3. Deux cubes distincts n’ont aucun point intérieur commun. Quand leurs indices ne diffèrent que d’une unité dans une direction, ils se touchent par une face ; d’autres voisins peuvent partager une arête ou un sommet.

Le résultat est un pavage de l’espace par translations du cube C. Le contrôle est refaisable : choisissez un point, repérez les trois intervalles entre entiers qui contiennent ses coordonnées, puis vérifiez que les intérieurs des cubes voisins ne se croisent pas.

Pour vérifier une construction en trois dimensions, on cherche d’abord un vide, puis un chevauchement intérieur. Si l’un des deux apparaît, la collection de pièces n’est pas un pavage de l’espace. Le contact par les seules frontières reste permis.

En cristallographie, lorsque le modèle impose un polyèdre convexe répété par simples translations, la forme relève de l’un des cinq types combinatoires de paralléloèdres établis par Fedorov : parallélépipède, prisme hexagonal, dodécaèdre rhombique, dodécaèdre allongé ou octaèdre tronqué. Si des rotations ou plusieurs formes interviennent, ce classement par translation seule ne suffit plus.

Pour passer d’un pavage du plan à un pavage de l’espace, on ne se contente pas d’épaissir le dessin. Il faut contrôler la couverture dans trois directions et vérifier les contacts entre couches, comme entre les cubes unités de l’exemple.

Pavage du plan. Il couvre un espace de dimension 2, tandis qu’un pavage de l’espace couvre un espace de dimension 3 ou, plus généralement, un espace métrique. Un assemblage qui couvre seulement une surface plane relève du premier cas.

Polyèdre. Un polyèdre est une pièce possible ; le pavage est la collection placée qui couvre tout l’espace. Un cube isolé est un polyèdre, mais il ne devient pavé d’un pavage que parmi des pièces couvrant le domaine sans recouvrement intérieur.

Translation. Une translation est le déplacement utilisé pour placer une copie ; elle n’est pas le pavage obtenu. Dans l’exemple, le vecteur (i, j, k) décrit un déplacement du cube C, et l’ensemble de toutes les copies constitue le pavage.

Un contact n’est pas un chevauchement. Deux pavés peuvent avoir une face, une arête ou un sommet en commun. Le symptôme décisif est un point commun à leurs intérieurs : dans ce cas, il faut modifier le placement.

Une couverture avec un trou échoue. Des pièces peuvent sembler remplir une zone observée tout en laissant un point de E hors de leur réunion. Il faut contrôler tout le domaine, pas seulement une coupe ou une couche.

Une pièce sans intérieur ne convient pas. Une face plane placée dans l’espace de dimension 3 est fermée, mais son intérieur spatial est vide. Elle ne peut donc pas servir seule de pavé tridimensionnel au sens donné ici.

Les cinq types combinatoires concernent un cadre précis. Le résultat de Fedorov classe les paralléloèdres convexes de dimension 3 en cinq types combinatoires : parallélépipède, prisme hexagonal, dodécaèdre rhombique, dodécaèdre allongé et octaèdre tronqué. Dès que l’on autorise d’autres transformations ou d’autres pièces, cette classification ne suffit plus.

Le pavage du plan permet de comparer la couverture d’une surface avec son prolongement dans une troisième direction.

La fiche polyèdre précise la nature des pièces utilisées dans les pavages polyédriques étudiés par Fedorov.

La translation donne le vocabulaire exact du déplacement qui répète le cube et les autres paralléloèdres sans les déformer.

L’article Éblouissants pavages de Penrose ouvre sur des pavages plans dont l’organisation diffère de la grille périodique des cubes.