densité d'empilement

Imaginez des pièces rondes rangées dans une boîte carrée. Elles peuvent se toucher, mais elles ne doivent pas se chevaucher. Même serrées, elles laissent généralement des interstices.

La densité d'empilement compare alors la place prise par les pièces à toute la place disponible. Une densité de 75 % signifie que les objets occupent les trois quarts de la surface ou du volume étudié ; le quart restant est vide. Changer la disposition peut réduire ces vides sans changer les objets.

Un empilement réunit des objets convexes dans un espace sans que les intérieurs de deux objets se recouvrent. Les frontières peuvent donc se toucher. En dimension deux, on compare des aires ; en dimension trois, des volumes. Dans une région finie, notons T sa mesure totale et O la mesure occupée par les morceaux d'objets qu'elle contient. La densité δ est :
Cette proportion est comprise entre 0 et 1.

Pour un empilement infini, il n'existe pas de volume total fini. On observe donc la proportion occupée dans des régions de plus en plus grandes et l'on précise la convention de limite employée. Pour un empilement périodique, il suffit de calculer la proportion dans une cellule fondamentale qui se répète.

La valeur dépend de la forme des objets, de la dimension et de la disposition autorisée. Pour des sphères identiques en dimension trois, les empilements compacts atteignent exactement $\frac{\pi }{3\sqrt{2}}=\frac{\pi }{\sqrt{18}}\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\backslash sqrt\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash sqrt\{18\}\}$, soit environ 0,74048. La conjecture formulée par Kepler en 1611 affirmait qu'aucun autre empilement de telles sphères n'est plus dense. Thomas Hales l'a démontrée par une preuve informatiquement assistée, dont la validation formelle complète s'est achevée en 2014.

Considérons quatre disques identiques de rayon 1, rangés en carré dans une boîte carrée de côté 4. Leurs centres sont aux points de coordonnées (1 ; 1), (3 ; 1), (1 ; 3) et (3 ; 3). Les disques sont tangents entre eux ou au bord, sans chevauchement intérieur.

1. L'aire de la boîte vaut 4 × 4 = 16.

2. Un disque a pour aire π × 1² = π. Les quatre disques occupent donc une aire totale de 4π.

3. La densité du rangement est $\delta =\frac{4\pi }{16}=\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0,7854}\backslash delta=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{16\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash approx\; 0\{,\}7854$, soit environ 78,54 %. La part vide vaut donc environ 21,46 %.

Le dessin permet de contrôler le calcul : quatre carrés de côté 2 découpent la boîte, et chacun contient un disque de rayon 1. Additionner quatre fois l'aire π et diviser par l'aire 16 redonne π / 4. Ce résultat concerne ce rangement carré de disques en dimension deux, pas l'empilement optimal de sphères en dimension trois.

Pour comparer deux rangements des mêmes objets dans une même région, on calcule pour chacun le rapport entre mesure occupée et mesure disponible : aire en dimension deux, volume en dimension trois. La disposition de plus grande densité laisse la plus petite proportion de vide.

En cristallographie, un modèle périodique conduit à travailler sur une cellule qui se répète. Si l'arrangement n'est pas périodique, une cellule unique ne suffit pas : il faut observer des régions de taille croissante.

En géométrie discrète, on fixe d'abord les formes et la dimension, puis on cherche une borne ou une disposition plus dense. Pour des formes qui peuvent remplir tout l'espace sans interstice, un pavage de densité 1 remplace avantageusement un rangement laissant du vide.

Densité d'empilement et nombre d'objets. Compter les objets ne suffit pas : quatre grands disques et quatre petits disques n'occupent pas la même aire dans une boîte identique. Le critère décisif est le rapport des aires ou des volumes.

Empilement et pavage. Un empilement interdit le recouvrement intérieur, mais peut laisser des interstices. Un pavage couvre tout l'espace sans trou : sa densité vaut 1 dans le cadre considéré.

Densité locale et densité globale. Une zone très serrée ne prouve pas que tout l'empilement est dense. Dans un arrangement infini, il faut examiner des régions de plus en plus grandes selon une convention annoncée.

Le bord fausse les petites boîtes. Des objets coupés par la frontière ou un espace inutilisable près des parois peuvent modifier fortement le rapport. Il faut annoncer la région mesurée et compter seulement les portions qu'elle contient.

Une limite peut ne pas exister. Pour un empilement infini irrégulier, les proportions observées peuvent osciller quand la fenêtre grandit. Il faut préciser si l'on utilise une limite, une limite supérieure ou une autre convention.

Le contact n'est pas un chevauchement. Deux objets peuvent partager des points de frontière tout en respectant la condition d'empilement. Dès qu'ils partagent un point intérieur, le rapport obtenu ne décrit plus un empilement au sens retenu ici.

Le seuil de 74 % n'est pas universel. La valeur π / √18 concerne des sphères identiques en dimension trois. D'autres formes ou dimensions ont d'autres optimums ; certaines formes pavent l'espace et atteignent la densité 1.

En dimension deux, le problème porte sur des disques ou d'autres formes planes ; en dimension trois, il porte notamment sur les sphères et les polyèdres. Le passage à des dimensions supérieures relie aussi les empilements à la théorie des codes.

Les dominos et les formes polyédriques ouvrent une autre direction : la forme, l'orientation et la combinatoire des contacts influencent les arrangements possibles. Chercher une forte densité revient alors à construire une disposition et à prouver qu'aucune autre ne fait mieux.