empilement de disques

Imaginez des pièces posées à plat dans une boîte, sans chevauchement. Certaines se touchent juste par leur bord, et chacune en touche au moins une autre : elles forment un empilement de disques. Les pièces peuvent avoir le même rayon ou des rayons différents.

Deux questions se lisent alors dans la représentation : quelle part de la boîte est couverte, et quelles pièces sont bloquées par leurs contacts ? La première donne la densité ; la seconde renseigne sur la rigidité locale.

Un empilement de disques réunit, dans un domaine fermé fixé, des disques de rayons égaux ou distincts dont les intérieurs ne se recouvrent pas. Deux disques peuvent être séparés ou tangents, et chacun doit toucher au moins un autre disque. Le domaine peut notamment être un disque, un carré ou un triangle équilatéral.

La densité mesure la part du domaine couverte. Si A_disques désigne la somme des aires des disques et A_domaine l'aire du domaine, alors $\eta =\frac{A_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}}}{A_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}}}\backslash eta=\backslash frac\{A\_\{\backslash mathrm\{disques\}\}\}\{A\_\{\backslash mathrm\{domaine\}\}\}$. Une densité égale à 1 signifie que toute l'aire est couverte. L'impossibilité d'ajouter un disque de taille autorisée est une propriété de saturation plus faible : elle ne suffit pas, à elle seule, à donner une densité de 1.

Un empilement est localement rigide lorsque chaque disque est immobilisé par ses voisins, le domaine restant fixe. Les directions de contact doivent alors bloquer tous ses déplacements possibles. Exiger que deux contacts consécutifs autour d'un disque forment un angle aigu est une condition plus restrictive, et non le critère général de rigidité locale. Dans l'acception donnée ici, un empilement compact impose en outre que tout voisin tangent d'un disque soit relié par tangence à deux autres voisins de ce même disque. Les problèmes étudiés portent sur la densité maximale, les configurations issues de pavages réguliers ou semi-réguliers et les rayons prescrits.

Plaçons sept disques de rayon 1 dans un domaine circulaire de rayon 3. Un disque occupe le centre ; les six autres ont leurs centres aux sommets d'un hexagone régulier de côté 2. Chaque disque extérieur touche le disque central, ses deux voisins extérieurs et le bord du domaine.

1. L'aire d'un petit disque vaut π × 1² = π. Les sept disques couvrent donc une aire totale de 7π.

2. L'aire du domaine vaut π × 3² = 9π.

3. Le rapport entre l'aire couverte et l'aire disponible est $\eta =\frac{7\pi }{9\pi }=\frac{7}{9}\approx \mathrm{0,778}\backslash eta=\backslash frac\{7\backslash pi\}\{9\backslash pi\}=\backslash frac\{7\}\{9\}\backslash approx\; 0\{,\}778$. La densité est donc exactement 7/9, soit environ 77,8 %.

Le contrôle géométrique est direct : la distance entre deux centres voisins vaut 2, somme de leurs rayons, tandis que la distance du centre du domaine à un centre extérieur vaut 2 ; avec son rayon 1, chaque disque extérieur atteint exactement le bord situé à distance 3.

Dans un domaine borné, on fixe d'abord la forme du contenant — disque, carré ou triangle équilatéral — puis on compare des configurations par leur densité. Si le bord change, la meilleure disposition peut changer elle aussi.

Lorsque tous les rayons sont égaux, les contacts et les motifs réguliers guident la construction. Si les rayons sont prescrits et distincts, il faut au contraire vérifier chaque distance entre centres : un petit disque peut occuper un vide inaccessible à un grand.

Pour juger si une configuration est bloquée, on examine les contacts autour de chaque disque et avec le bord. Si un disque peut encore bouger tandis que les autres restent fixes, l'empilement n'est pas localement rigide, même si sa densité paraît élevée.

Empilement et recouvrement. Dans un empilement, les intérieurs des disques ne se chevauchent pas ; dans un recouvrement, le but est de ne laisser aucun point du domaine découvert et les chevauchements peuvent être nécessaires. Deux disques qui se coupent en deux points relèvent donc d'un recouvrement, pas de l'empilement défini ici.

Empilement et pavage. Un pavage couvre tout le domaine sans trou ni chevauchement, tandis qu'un empilement de disques laisse généralement des interstices courbes. Les pavages réguliers ou semi-réguliers peuvent fournir les centres d'une configuration, mais ils ne transforment pas les disques en tuiles qui remplissent nécessairement le plan.

Disque et cercle. Le cercle est seulement le bord ; le disque comprend aussi son intérieur. La densité compare des aires, donc elle porte bien sur des disques. Un dessin composé uniquement de circonférences représente leurs frontières, pas une aire nulle à employer dans le calcul.

Bloqué ne signifie pas dense au maximum. Une configuration peut empêcher tout déplacement individuel tout en laissant beaucoup d'espace vide. Il faut calculer la densité et comparer d'autres configurations au lieu de déduire l'optimalité de la seule rigidité locale.

Saturé ne signifie pas couvert. Ne plus pouvoir insérer un disque du rayon autorisé n'impose pas une densité égale à 1. Dans l'exemple à sept disques, la densité vaut 7/9, donc environ 22,2 % du domaine reste découvert, même si les sept disques touchent le bord ou plusieurs voisins.

Le rayon du disque ajouté doit être précisé. Si des rayons arbitrairement petits sont permis, un interstice non vide peut recevoir des disques de plus en plus petits. Pour tester la saturation, il faut donc annoncer un rayon minimal ou une liste de rayons prescrits.

Le bord fait partie des contraintes. Dans un disque, un carré ou un triangle équilatéral, un contact avec le bord peut immobiliser un disque. Oublier ce contact fausse l'analyse ; il faut examiner ensemble les voisins et la frontière du domaine fixé.

L'article Des cercles touchants prolonge l'étude des configurations de tangence et aide à lire les relations entre cercles voisins.

Le glossaire pavage équilatéral éclaire le rôle d'un motif régulier lorsqu'il sert de support aux centres d'un empilement.