densité d'empilement

Posez quatre disques identiques de rayon 1 dans un carré de côté 4. Ils peuvent toucher leurs voisins sans se chevaucher, mais des espaces blancs subsistent entre eux. La densité d’empilement compare alors l’aire jaune couverte par les disques à l’aire entière du carré.

Une densité proche de 1 signifie que le contenant laisse peu de vide. Elle ne renseigne ni sur la masse des objets ni sur leur nombre pris isolément : elle décrit la part d’espace qu’ils occupent ensemble.

Un empilement place des objets convexes — sphères, disques, polyèdres ou autres formes — dans une région, sans point intérieur commun à deux objets. Le contact par les bords reste donc permis. Dans une région de volume positif et fini, notée R, la densité δ est le quotient du volume réellement couvert par la réunion des objets et du volume total de R :

Les objets sont notés K_i. Pour des disques plans, le même quotient emploie des aires ; pour un empilement infini, il faut observer des régions de plus en plus grandes et préciser la limite retenue. La valeur dépend des formes et de leur arrangement. En trois dimensions, le problème classique des sphères identiques conduit aux couches hexagonales compactes, d’une densité d’environ 74 %. Kepler a formulé en 1611 la conjecture affirmant leur optimalité. Thomas Hales l’a démontrée par une preuve informatiquement assistée, dont la validation formelle complète s’est achevée en 2014. La notion intervient aussi en géométrie discrète, en cristallographie et en théorie des codes ; les empilements de dominos et de formes polyédriques soulèvent d’autres problèmes combinatoires et géométriques.

Considérons un carré de côté 4 et quatre disques de rayon 1, centrés aux points de coordonnées (1, 1), (3, 1), (1, 3) et (3, 3). Les données sont donc : côté du carré, 4 ; rayon de chaque disque, 1 ; nombre de disques, 4. Une vue à l’échelle rend visibles leurs tangences et le vide résiduel.

1. Deux centres voisins sont distants de 2, soit la somme des deux rayons. Les disques se touchent sans partager de point intérieur.

2. L’aire d’un disque vaut π × 1² = π. Comme les intérieurs ne se chevauchent pas, les quatre disques occupent ensemble une aire de 4π.

3. L’aire du carré vaut 4 × 4 = 16. La densité de cet empilement est donc $\delta =\frac{4\pi }{16}=\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0,785}\backslash delta=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{16\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash approx0\{,\}785$, soit environ 78,5 %.

4. Contrôlons par le vide : son aire est 16 − 4π ≈ 3,434, soit environ 21,5 % du carré. Les parts occupée et vide totalisent environ 100 %, l’écart éventuel venant seulement des arrondis.

Comparer deux arrangements. À objets et contenant identiques, on calcule la part occupée pour chaque disposition. La densité est préférable au simple comptage lorsque le critère recherché est la réduction du vide.

Étudier un cristal. La cristallographie relie l’arrangement répété de particules à l’espace qu’elles occupent. Si la structure n’est pas périodique, une mesure sur une seule cellule répétée ne convient pas ; il faut préciser une région d’observation plus large.

Modéliser un code. En théorie des codes, on représente les mots du code par des centres et les erreurs tolérées par des voisinages disjoints. Une approche d’empilement convient lorsque ces voisinages ne doivent pas se recouvrir ; si le recouvrement est permis, ce modèle ne traduit plus un décodage sans ambiguïté.

Pavage. Un pavage couvre toute la région sans chevauchement, tandis qu’un empilement peut laisser du vide. Les quatre disques du carré forment un empilement de densité π/4, mais pas un pavage, car environ 21,5 % du carré reste découvert.

Masse volumique. La densité d’empilement est une proportion sans unité ; la masse volumique rapporte une masse à un volume. Deux boîtes occupées dans la même proportion ont la même densité d’empilement, même si leurs objets n’ont pas la même masse.

Effet du contenant. Une densité finie dépend du bord choisi. Les quatre disques occupent π/4 d’un carré de côté 4, mais seulement 4π/4,1² ≈ 0,748 d’un carré concentrique de côté 4,1. Il faut donc comparer des arrangements dans une même région ou annoncer la région utilisée.

Espace infini. Diviser directement deux volumes infinis n’a pas de sens. On mesure la proportion dans des fenêtres croissantes ; si elle ne tend pas vers une valeur unique, il faut annoncer une densité supérieure, une densité inférieure ou la règle d’observation au lieu d’un nombre unique.

Tangence ou chevauchement. Pour deux disques de rayon 1, une distance entre centres égale à 2 autorise une tangence. Une distance inférieure à 2 révèle un chevauchement des intérieurs : ce n’est plus un empilement conforme, et additionner les aires compterait la zone commune deux fois.

Le seuil de 74 % n’est pas universel. Il appartient au problème classique des sphères identiques en trois dimensions. Les disques, dominos ou polyèdres ont d’autres géométries ; il faut recalculer leur proportion occupée au lieu de leur appliquer ce pourcentage.

Empilement de sphères : Approfondir le problème géométrique qui a conduit à la conjecture de Kepler et à sa démonstration.

polyèdre Identifier les solides dont les empilements prolongent l’étude au-delà des sphères.