empilement de parallélépipèdes

Imaginez des briques rectangulaires posées les unes contre les autres, puis éventuellement les unes sur les autres. Un empilement de parallélépipèdes est une organisation de ces blocs dans l'espace : ils remplissent une région sans qu'aucun en traverse un autre.

On peut alors compter les briques, calculer le volume occupé ou chercher une disposition qui laisse le moins de vide possible. Une construction régulière devient ainsi un support concret pour la géométrie et le dénombrement.

Un parallélépipède est un solide dont les six faces sont des parallélogrammes ; une brique rectangulaire est le cas particulier dont les faces sont des rectangles. Un empilement est une famille de tels blocs placés dans l'espace de manière que leurs intérieurs soient deux à deux disjoints. Les blocs peuvent se toucher par une face, une arête ou un sommet, sans que ce contact constitue un chevauchement.

Pour une brique rectangulaire, on note L sa longueur, l sa largeur et h sa hauteur. Son volume se calcule ainsi :Dans un empilement de briques identiques, le volume total est le produit du nombre de briques par le volume d'une brique. Cette égalité suppose que les blocs ne se recouvrent pas ; elle reste vraie même si l'empilement laisse des espaces entre eux.

La disposition peut être régulière, par exemple en rangées et en couches, ou moins ordonnée. Dans une étude de remplissage, il faut donc préciser la forme de la région à occuper, l'orientation autorisée des blocs et le fait que les dimensions sont fixes ou variables.

On dispose 6 briques rectangulaires identiques en 3 colonnes et 2 couches. Chaque brique mesure 3 cm de longueur, 2 cm de largeur et 1 cm de hauteur. La disposition est régulière et les briques se touchent sans se chevaucher.

Les données sont les suivantes : 6 briques ; longueur 3 cm ; largeur 2 cm ; hauteur 1 cm ; 3 briques par couche ; 2 couches.

Le volume d'une brique vaut 3 × 2 × 1 = 6 cm³.
Le volume de la première couche vaut 3 × 6 = 18 cm³.
Les deux couches occupent donc 2 × 18 = 36 cm³.

Le volume total de l'empilement est donc exactement 36 cm³. Un contrôle indépendant donne 6 × (3 × 2 × 1) = 36 cm³ ; les deux calculs concordent. Le schéma montre les trois briques de chaque couche et la hauteur d'une brique.

Dans une activité de collège, on peut construire une forme avec des cubes ou des briques, compter les éléments par rangée et par couche, puis vérifier le volume obtenu. Le comptage par couches est utile lorsque la disposition est régulière.

Pour ranger des boîtes rectangulaires, on choisit une orientation qui respecte les dimensions de l'espace disponible. Une boîte qui ne passe pas dans la largeur impose une autre orientation ou un autre rangement ; le volume seul ne suffit donc pas à décider.

En modélisation, une grille de blocs permet de représenter une structure régulière. On décrit alors séparément le nombre de blocs dans chaque direction et l'on calcule le volume à partir des dimensions réellement utilisées.

Un empilement de parallélépipèdes ne se confond pas avec un empilement de sphères. Le critère testable est la forme des blocs : leurs faces sont planes et parallèles deux à deux dans le cas rectangulaire, alors qu'une sphère n'a ni face ni arête. Six briques rectangulaires juxtaposées relèvent du premier cas, même si leur disposition évoque une pile d'objets.

Il ne faut pas non plus confondre l'empilement avec le seul calcul d'un volume. Le volume décrit une grandeur ; l'empilement décrit une disposition spatiale. Deux dispositions peuvent avoir le même volume total, mais l'une peut laisser des vides ou ne pas entrer dans la région imposée.

Le contact entre deux blocs n'est pas un chevauchement. Deux briques peuvent partager une face ou une arête, mais leurs intérieurs doivent rester disjoints. Si deux volumes occupent une même région intérieure, la configuration ne répond plus à la définition d'un empilement sans chevauchement.

Le calcul par addition des volumes est exact pour des blocs non chevauchants. Dès qu'un recouvrement existe, additionner les volumes compte une partie au moins deux fois ; il faut alors retrancher le volume commun, ou modifier la disposition.

Un empilement peut laisser du vide. La densité d'une région étudiée vaut le volume de la partie de cette région occupée par les blocs, divisé par le volume de la région, lorsque celle-ci est définie et de volume non nul. Elle vaut 1 seulement si la région est entièrement occupée, pas simplement parce que les blocs sont bien alignés.

Enfin, une brique rectangulaire n'est qu'un cas particulier de parallélépipède. Une conclusion obtenue pour des briques à angles droits ne s'étend pas automatiquement à des blocs obliques ; l'orientation et la forme des faces doivent être précisées.

L'étude des empilements conduit à la géométrie discrète : au lieu de déplacer continûment une figure, on compte et on organise des blocs séparés. Elle permet de poser des questions de dénombrement et d'optimisation, par exemple sur le nombre de dispositions possibles ou sur les vides inévitables.

Dans les structures cristallines, des motifs réguliers de parallélépipèdes servent à représenter des mailles élémentaires. Les géométries cubique et orthorhombique sont deux cadres possibles ; la forme de la maille renseigne sur les longueurs et les angles retenus pour le modèle.

La recherche d'une densité maximale et l'étude de variantes périodiques prolongent le problème : il faut alors fixer la région, les dimensions des blocs et les symétries autorisées avant de comparer deux empilements.