réseau cubique à faces centrées

Imaginez des oranges rangées en couches serrées. Autour d'une orange qui n'est pas sur le bord, on peut en compter douze qui la touchent. Selon la façon de superposer les couches, les centres des fruits peuvent dessiner un réseau cubique à faces centrées : dans une maille en forme de cube, ils se trouvent aux huit sommets et au milieu des six faces. Une autre superposition donne un empilement hexagonal compact.

Ces quatorze positions visibles ne représentent pourtant pas quatorze sphères entières dans le cube, car les sphères placées sur les limites sont partagées avec les mailles voisines. Leur contribution totale vaut quatre sphères par maille.

Un réseau cubique à faces centrées, abrégé CFC, est un réseau périodique de l'espace. Une maille cubique conventionnelle possède un nœud à chacun de ses huit sommets et un nœud au centre de chacune de ses six faces. Un nœud de sommet est partagé par huit mailles et un nœud de face par deux : une maille contient donc l'équivalent de 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4 nœuds. Dans l'empilement de sphères identiques associé, chaque sphère touche douze voisines.

On note a la longueur de l'arête de la maille et r le rayon d'une sphère. Sur une diagonale de face, les centres d'une sphère de sommet, d'une sphère de face et du sommet opposé sont alignés. Les sphères en contact donnent $a\sqrt{2}=4ra\backslash sqrt\{2\}=4r$, donc $a=2\sqrt{2}ra=2\backslash sqrt\{2\}r$.

La densité est la part du volume occupée par les sphères. Pour cette maille, elle vaut : Autrement dit, environ 74,05 % du volume est occupé. La conjecture formulée par Kepler en 1611 affirme qu'aucun empilement de sphères identiques dans l'espace ne dépasse cette densité.

Prenons un empilement CFC de sphères identiques de rayon r = 1 cm. Les données sont les huit sommets, les six centres de face et le contact des trois sphères dont les centres se suivent sur une diagonale de face.

1. Compter les sphères.
Les sommets apportent 8 × 1/8 = 1 sphère et les faces 6 × 1/2 = 3 sphères. La maille contient donc l'équivalent de 4 sphères.

2. Trouver l'arête.
La diagonale d'une face mesure a√2. Elle correspond à quatre rayons, soit 4 cm. Ainsi a = 4/√2 = 2√2 cm. La figure matérialise ce contact et le partage des nœuds.

3. Calculer les volumes.
Le cube a pour volume $a^3=(2\sqrt{2}{)}^3=16\sqrt{2}{\text{cm}}^{3}a^3=(2\backslash sqrt\{2\})^3=16\backslash sqrt\{2\}\backslash \; \backslash text\{cm\}^3$. Les quatre sphères apportent $4\times \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{16\pi }{3}{\text{cm}}^{3}4\backslash times\; \backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\; r^3=\backslash frac\{16\backslash pi\}\{3\}\backslash \; \backslash text\{cm\}^3$.

4. Former le rapport.
La densité est $\frac{16\pi \mathrm{/}3}{16\sqrt{2}}=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}=\frac{\pi }{\sqrt{18}}\approx \mathrm{0,7405}\backslash frac\{16\backslash pi/3\}\{16\backslash sqrt\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\backslash sqrt\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash sqrt\{18\}\}\backslash approx\; 0\{,\}7405$, soit environ 74,05 %.

Le contrôle est indépendant du rayon : si r est multiplié par un facteur, le volume des sphères et celui de la maille sont tous deux multipliés par le cube de ce facteur. Leur rapport reste donc π/√18.

Pour reconnaître une maille CFC sur un schéma, on cherche des nœuds aux huit sommets et au centre de chaque face. La présence d'un seul nœud au centre du cube indiquerait une autre organisation ; le critère décisif est ici la position des nœuds de face.

Pour calculer sa densité, on compte d'abord les fractions de sphères appartenant à la maille, puis on utilise le contact sur une diagonale de face. Cette méthode évite de prendre les quatorze positions dessinées pour quatorze sphères complètes.

Pour étudier l'empilement optimal, on distingue enfin un exemple qui atteint π/√18 de l'énoncé global affirmant qu'aucun autre empilement de sphères identiques ne fait mieux. La seconde affirmation est précisément le contenu difficile de la conjecture de Kepler démontrée.

Maille cubique simple. Elle possède seulement des nœuds aux sommets. Sur un dessin, l'absence de nœuds au centre des faces tranche immédiatement : ce n'est pas une maille CFC.

Maille cubique centrée. Son nœud supplémentaire est au centre du cube, et non au centre de chacune des six faces. Un point central unique ne doit donc pas être interprété comme les six centres de face d'un réseau CFC.

Conjecture et réseau. Le réseau CFC est une organisation précise qui atteint la densité π/√18. La conjecture de Kepler est l'affirmation plus générale qu'aucun empilement de sphères identiques dans l'espace ne peut dépasser cette valeur.

Compter les points dessinés. Une maille montre huit sommets et six centres de face, mais ces nœuds sont partagés. Le symptôme de l'erreur est un total de quatorze sphères ; il faut pondérer chaque sommet par 1/8 et chaque face par 1/2 pour retrouver quatre sphères.

Employer la mauvaise diagonale. Dans l'empilement CFC, le contact utilisé traverse une face : a√2 = 4r. Utiliser l'arête ou la diagonale du cube produit une densité erronée ; il faut repérer les trois centres alignés sur une face.

Oublier les hypothèses. La valeur maximale π/√18 concerne des sphères identiques dans l'espace à trois dimensions. Elle ne doit pas être transférée telle quelle aux hypersphères : en dimension 8, le résultat optimal a été obtenu en 2016 par Maryna Viazovska ; en dimension 24, il l'a été en 2017 par Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen Miller et Danylo Radchenko.

Confondre résultat et histoire de la preuve. Kepler formule la conjecture en 1611 ; Hales et Ferguson proposent une démonstration assistée par ordinateur en 1998, alors tenue pour fiable à 99 %. Le projet Flyspeck, qui produit une preuve formelle mécaniquement vérifiée, est achevé en 2014 ; l'article présentant cette preuve est publié en 2017.

L'article Empilement de sphères : replace la maille CFC dans le problème géométrique global de l'empilement.

L'article Hilbert, les vingt-trois problèmes et la physique situe ce défi parmi les problèmes proposés par Hilbert en 1900.

L'article Médailles Fields 2022 : de belles surprises prolonge le parcours autour de Maryna Viazovska et de ses travaux.