polyèdre de Waterman

Imaginez des oranges rangées aussi serrées que possible. Marquez leur centre, gardez seulement les centres situés dans une boule, puis tendez autour d'eux une coque plane et convexe. Cette coque est un polyèdre de Waterman.

La taille de la boule choisie change le nombre de centres retenus et donc la forme obtenue : il existe une famille de polyèdres, pas un solide unique. Les sphères guident la construction, mais elles ne font pas partie du polyèdre final.

Un polyèdre de Waterman est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de centres provenant d'un empilement cubique compact de sphères identiques. L'enveloppe convexe est le plus petit ensemble convexe qui contient tous les centres sélectionnés ; lorsqu'elle est de dimension 3, elle forme un solide. La sélection se fait habituellement par une boule centrée sur un point choisi du réseau ; son rayon détermine le membre de la famille.

Dans un modèle de coordonnées courant, le réseau des centres est formé des points dont les coordonnées entières x, y et z ont une somme paire. Pour un rayon positif r et un centre de sélection c appartenant au réseau, la construction s'écrit :
Le symbole « conv » désigne l'enveloppe convexe. Le cas c = 0 place le centre de la boule à l'origine ; une translation, une rotation ou un changement d'échelle donne une représentation équivalente.

Seuls les centres qui sont des points extrêmes de l'enveloppe deviennent des sommets. Les autres peuvent être intérieurs à l'enveloppe ou situés sur une arête ou une face sans être des sommets. La forme dépend donc à la fois du rayon et de la position choisie pour le centre de sélection ; ces paramètres doivent être précisés lorsqu'on veut identifier un polyèdre particulier.

La construction réunit cinq éléments. Le réseau cubique à faces centrées fournit les centres de sphères. Une origine fixe le centre de la sélection, et un rayon délimite les centres retenus. L'enveloppe convexe transforme ce nuage fini en solide. Enfin, sa frontière se décompose en sommets, arêtes et faces polygonales.

Le réseau impose les directions et les symétries possibles ; le rayon décide combien de couches de centres participent. L'enveloppe dépend de ces deux données, mais oublie les centres strictement intérieurs. Couleur, orientation du dessin et taille d'affichage ne définissent donc pas le polyèdre. Le réseau, le centre de sélection, le rayon et la règle d'enveloppe suffisent à le reconstruire et à compter ses éléments.

Prenons le réseau de points à coordonnées entières de somme paire, une boule centrée à l'origine et le rayon r = √2. Les données sont le réseau L, l'origine (0, 0, 0) et la distance maximale √2.

1. Les points retenus sont l'origine et les douze points obtenus avec les trois familles de coordonnées suivantes, où les signes sont indépendants :
Chaque point non nul est exactement à la distance √2 de l'origine.

2. L'origine est intérieure à l'enveloppe. Les douze autres points en deviennent les sommets. Deux sommets voisins y sont reliés ; leur distance vaut √2.

3. Chaque sommet possède quatre voisins. Le comptage compte chaque arête deux fois, une fois depuis chacune de ses extrémités : 12 × 4 ÷ 2 = 24 arêtes.

4. La frontière comporte huit faces triangulaires et six faces carrées, soit quatorze faces. Le contrôle d'Euler donne 12 − 24 + 14 = 2. L'enveloppe obtenue est donc le cuboctaèdre formé par le premier voisinage non nul de ce modèle du réseau.

Une projection plane du squelette permet de vérifier les douze sommets et les vingt-quatre arêtes, tandis que le point central sélectionné reste intérieur au solide.

Pour étudier un amas fini issu d'un empilement compact, on sélectionne les centres par une distance à l'origine, puis on calcule leur enveloppe convexe. Si l'occupation exacte des sphères importe, le nuage de centres ou l'union des sphères est préférable, car l'enveloppe efface les cavités et les points intérieurs.

Pour comparer des membres de la famille, on fixe la même convention de réseau et de centre, puis on fait varier le rayon. Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces révèle les changements de combinatoire lorsque de nouvelles couches de centres entrent dans la boule.

En cartographie, une surface polyédrique peut servir de support intermédiaire avant le dépliage en plan. Le polyèdre choisi par Waterman conduit à une carte en silhouette de papillon ; une autre projection reste préférable si l'on veut préserver en priorité une propriété différente, comme les angles ou les aires.

Empilement cubique compact. C'est l'arrangement infini des sphères ou de leurs centres. Un polyèdre de Waterman est au contraire l'enveloppe convexe d'une sélection finie de ces centres. Sans sélection finie et sans enveloppe, on a le réseau, pas le polyèdre.

Union des sphères. Elle possède une surface arrondie et peut laisser apparaître des creux entre sphères. L'enveloppe convexe des centres a des faces planes et comble tout creux : les deux objets ne coïncident pas.

Projection cartographique de Waterman. C'est une représentation plane de la Terre construite à l'aide d'un support polyédrique particulier. La famille des polyèdres est l'objet géométrique ; la carte en papillon est une application de l'un de ses membres.

Octaèdre tronqué uniforme. Ses arêtes ont toutes la même longueur après une troncature au tiers des arêtes initiales. Le solide mentionné dans la source est tronqué au quart ; ce critère suffit à ne pas les identifier automatiquement.

Rayon trop petit. Si la boule ne contient que l'origine, l'enveloppe se réduit à un point : ce n'est pas un polyèdre tridimensionnel. Dans le modèle de l'exemple, le premier rayon donnant un solide est r = √2.

Point exactement sur la sphère de sélection. Avec la convention « distance au plus égale au rayon », il est inclus ; avec une inégalité stricte, il disparaît. Au rayon r = √2, cette différence enlève les douze sommets de l'exemple. Il faut donc annoncer la convention.

Centre de sélection implicite. Deux boules de même rayon, mais centrées en des positions non équivalentes du réseau, peuvent retenir des ensembles différents. Le rayon seul ne suffit pas toujours à nommer la forme obtenue.

Distorsions cartographiques. Le dépliage en papillon peut réduire certaines déformations et certaines coupures, mais aucune carte plane de toute la Terre ne conserve simultanément toutes les distances, les aires et les angles. Il faut juger la projection selon la propriété recherchée.

La construction ouvre deux pistes. En géométrie discrète, on peut suivre les rayons auxquels une nouvelle couche du réseau modifie le nombre de sommets, d'arêtes ou de faces. En cartographie, on peut comparer les dépliages d'un même support polyédrique et observer comment le choix des coupures déplace les discontinuités sans supprimer les distorsions.