tétraèdre de Reuleaux

Imaginez quatre ballons identiques dont les centres occupent les sommets d'un tétraèdre régulier. Chaque ballon est assez grand pour passer par les trois autres sommets. Le volume commun aux quatre ballons forme le tétraèdre de Reuleaux.

Il conserve quatre pointes et quatre faces, mais ces faces sont bombées et ses bords sont courbes. Son nom rappelle le triangle de Reuleaux, sans lui transmettre sa largeur constante dans toutes les directions.

Soient quatre points A, B, C et D formant un tétraèdre régulier. La lettre s désigne la longueur commune, strictement positive, de ses six arêtes. Les distances entre chaque paire de sommets vérifient $\parallel AB\parallel =\parallel AC\parallel =\parallel AD\parallel =\parallel BC\parallel =\parallel BD\parallel =\parallel CD\parallel =s\backslash lVert\; AB\backslash rVert=\backslash lVert\; AC\backslash rVert=\backslash lVert\; AD\backslash rVert=\backslash lVert\; BC\backslash rVert=\backslash lVert\; BD\backslash rVert=\backslash lVert\; CD\backslash rVert=s$. On trace ensuite quatre sphères de rayon s, centrées en A, B, C et D. Le tétraèdre de Reuleaux est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à s de chacun de ces centres.

Cette intersection possède les quatre sommets et les quatre faces du tétraèdre de départ au sens topologique. Chaque face est une portion de l'une des sphères et chaque arête est un arc de cercle. La figure de construction rend visibles les quatre centres et les quatre sphères de même rayon ; leurs silhouettes circulaires sont des projections des sphères.

L'analogie avec le triangle de Reuleaux a une limite essentielle. Le solide tridimensionnel ainsi obtenu n'a pas la même épaisseur dans toutes les directions : une mesure allant d'un sommet à la face opposée dépasse celle qui passe par les milieux de deux arêtes opposées.

Construisons un modèle à partir d'un tétraèdre régulier d'arête 2 cm. L'objectif est de déterminer sans ambiguïté le volume commun aux quatre sphères.

Les sommets sont A, B, C et D.
Les six arêtes mesurent 2 cm.
Chacune des quatre sphères a pour rayon 2 cm et pour centre l'un des sommets.

1. Tracez la sphère de centre A et de rayon 2 cm. Les points B, C et D appartiennent à sa surface, car AB = AC = AD = 2 cm.
2. Répétez l'opération avec les centres B, C et D, toujours avec le rayon 2 cm.
3. Conservez seulement les points qui appartiennent simultanément aux quatre boules délimitées par ces sphères. Cette intersection est le tétraèdre de Reuleaux.
4. Contrôlez la construction en mesurant les six distances entre centres : elles doivent toutes valoir 2 cm. Chaque sphère doit aussi passer par les trois centres autres que le sien.

Le résultat est un solide à quatre sommets, quatre faces sphériques et arêtes circulaires. Le contrôle porte sur les distances entre centres, pas sur une largeur supposée constante.

Avec un logiciel de géométrie 3D, on place d'abord quatre points équidistants, puis quatre boules de même rayon. L'opération d'intersection est préférable à un dessin à main levée lorsque l'on veut contrôler l'appartenance de chaque point aux quatre boules.

Pour fabriquer un modèle visuel, quatre sphères transparentes ou quatre calques de surfaces rendent la construction lisible. Un tétraèdre plein ordinaire est une meilleure alternative si l'on veut seulement montrer quatre faces planes.

Pour tester une affirmation de largeur constante, on compare des directions distinctes. Le passage par les milieux de deux arêtes opposées donne une épaisseur inférieure au passage par un sommet et la face opposée ; une seule mesure ne suffit donc pas.

Le triangle de Reuleaux. C'est une figure plane, tandis que le tétraèdre de Reuleaux est un solide tridimensionnel. Le critère qui tranche est la construction : intersection de trois disques dans le plan pour le premier, intersection de quatre boules dans l'espace pour le second. Le triangle a une largeur constante ; le solide décrit ici n'en a pas.

Le tétraèdre régulier. Il sert de support à la construction, mais ses quatre faces sont planes et ses six arêtes sont des segments. Si les faces visibles sont des portions de sphère et les arêtes des arcs de cercle, l'objet obtenu est le tétraèdre de Reuleaux.

Rayon mal choisi. Le rayon de chaque sphère doit être exactement la longueur s des arêtes. Si une sphère ne passe pas par les trois autres sommets, la construction ne satisfait plus la définition ; il faut corriger son rayon ou la position de son centre.

Cas dégéné. La condition s > 0 est nécessaire. Au cas charnière s = 0, les quatre sommets se confondent et l'intersection ne forme plus un solide tridimensionnel.

Fausse largeur constante. Une mesure isolée peut donner l'impression que l'analogie avec le triangle est complète. Le symptôme est une valeur plus grande entre un sommet et la face opposée qu'entre les milieux de deux arêtes opposées. Il faut comparer plusieurs directions avant de conclure.

Confusion entre sphère et boule. Les portions de sphères forment la frontière, mais le solide est l'intersection des volumes intérieurs correspondants. Ne garder que les quatre surfaces ne définit pas son volume.

Le glossaire triangle de Reuleaux permet d'étudier l'analogue plan et sa propriété de largeur constante.

L'article Reuleaux : un triangle qui roule prolonge l'intuition géométrique par le comportement du triangle en mouvement.

La fiche tétraèdre revient sur le polyèdre à faces planes qui fournit les quatre centres de la construction.