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polygone de Reuleaux
Un polygone de Reuleaux régulier est une courbe plane convexe formée d'un nombre impair d'arcs de cercle et dont la largeur — la distance entre deux droites d'appui parallèles — reste la même dans toutes les directions. Il se construit à partir d'un polygone régulier ayant un nombre impair de sommets, chacun servant de centre à un arc de rayon égal à cette largeur. Il peut ainsi tourner entre deux droites parallèles sans modifier leur écart.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la largeur constante avec deux droites d'appui parallèles.
- Construire un pentagone de Reuleaux de largeur 10 cm à partir de cinq arcs.
- Calculer une aire de 75,85 cm² et contrôler le facteur d'échelle.
- Distinguer le rayon des arcs du côté du polygone générateur lorsque p est supérieur à 3.
En clair
Imaginez une forme arrondie serrée entre deux règles parallèles. Faites tourner les règles autour d'elle : leur écart reste le même. Un polygone de Reuleaux possède cette largeur constante sans être un disque. Son contour alterne des pointes et des arcs de cercle.
La construction part d'un polygone régulier ayant un nombre impair de sommets. Les sommets servent de centres aux arcs et la même largeur fixe leur rayon. Avec trois sommets, on retrouve le triangle de Reuleaux ; avec cinq, on obtient une forme plus proche du cercle.
Définition
Un polygone de Reuleaux régulier est une courbe plane convexe composée d'un nombre impair d'arcs de cercle. Le nombre d'arcs est noté p, avec p impair et au moins égal à 3. Pour chaque direction, deux droites d'appui parallèles encadrent la courbe. Leur distance, notée w, ne dépend pas de la direction : w est la largeur constante.
La construction régulière utilise les sommets d'un polygone régulier à p sommets. Chaque arc a pour centre un sommet et pour rayon w ; il relie les deux sommets qui lui font face. Pour p = 3, la largeur est aussi le côté du triangle équilatéral. Pour p = 5, elle est la diagonale du pentagone générateur, et non son côté.
Pour une largeur w, l'aire Ap de cette construction régulière vaut . La formule sans le facteur w2 correspond donc à une largeur égale à 1. À largeur fixée, l'aire croît avec le nombre impair d'arcs.
De quoi c'est fait
La construction comporte cinq éléments liés. Un polygone régulier impair fournit les sommets. Chaque sommet devient le centre d'un arc. Tous les arcs partagent le rayon w, égal à la largeur recherchée. Deux sommets opposés au centre fixent les extrémités de chaque arc. L'enchaînement de ces arcs forme enfin un contour convexe fermé.
Le rayon commun dépend de l'échelle du polygone générateur, tandis que les extrémités d'un arc dépendent de la position des autres sommets. La régularité et l'impairité organisent ainsi les arcs par paires opposées à un sommet. Ces données suffisent à tracer le contour, à retrouver sa largeur et à calculer son aire. Une rotation, une couleur ou un déplacement ne change pas la nature de la courbe.
Un exemple, pas à pas
Construisons un pentagone de Reuleaux de largeur 10 cm. Les données sont un pentagone régulier ABCDE, ses cinq diagonales de 10 cm et un compas ouvert à 10 cm. Le côté du pentagone est plus court que cette ouverture.
1. Centrez le compas en A et tracez l'arc de C à D.
2. Centrez-le en B, C, D puis E pour tracer successivement les arcs de D à E, de E à A, de A à B et de B à C.
3. Conservez le contour convexe fermé formé par ces cinq arcs.
4. Encadrez-le par deux droites d'appui parallèles dans plusieurs directions : leur écart doit rester égal à 10 cm.
2. Centrez-le en B, C, D puis E pour tracer successivement les arcs de D à E, de E à A, de A à B et de B à C.
3. Conservez le contour convexe fermé formé par ces cinq arcs.
4. Encadrez-le par deux droites d'appui parallèles dans plusieurs directions : leur écart doit rester égal à 10 cm.
Pour calculer l'aire, on prend p = 5 et w = 10 cm :
Le résultat est donc environ 75,85 cm². Un contrôle d'échelle est immédiat : si toutes les longueurs doublaient, l'aire serait multipliée par quatre, conformément au facteur w2.
En pratique
Pour tracer un modèle exact, on préfère le compas au dessin à main levée. L'ouverture reste égale à la largeur pendant tous les arcs ; une ouverture modifiée produit seulement une forme arrondie, pas la construction régulière attendue.
Pour vérifier la largeur constante, on emploie deux droites d'appui parallèles et on change leur orientation. Mesurer uniquement les distances entre sommets ne suffit pas, car la propriété concerne toutes les directions.
Pour comparer plusieurs polygones de Reuleaux, on fixe d'abord la même largeur. La formule d'aire devient alors pertinente : sans cette normalisation, une forme plus grande peut avoir une aire supérieure pour la seule raison qu'elle a été agrandie.
À ne pas confondre
Avec le polygone régulier générateur. Celui-ci possède des côtés droits ; le polygone de Reuleaux possède des arcs. Sur le pentagone de l'exemple, un segment AB appartient au premier contour, tandis qu'un arc de A à B appartient au second.
Avec un disque. Les deux courbes ont une largeur constante. Le disque est toutefois bordé par un seul cercle sans pointe, alors qu'un polygone de Reuleaux présente plusieurs arcs dont les centres sont ses sommets.
Avec le tétraèdre de Reuleaux. Le polygone de Reuleaux est une courbe plane. Le tétraèdre de Reuleaux est un objet spatial ; le voir dessiné sur une feuille ne le transforme pas en courbe de largeur constante du plan.
Limites et pièges
Le nombre de sommets doit être impair. La construction régulière décrite ici commence à p = 3 et utilise p = 3, 5, 7… Avec quatre ou six sommets, il n'existe pas de sommet unique faisant face à chaque côté ; il ne faut pas appliquer cette recette telle quelle.
Le rayon n'est pas toujours le côté du polygone initial. Cette égalité vaut pour le triangle équilatéral. Dans le pentagone de largeur 10 cm, les arcs ont un rayon de 10 cm, égal à une diagonale ; prendre le côté rendrait la largeur variable.
La formule brute suppose une largeur unité. Le coefficient est sans unité. Pour une largeur w, il faut le multiplier par w2 ; sinon le résultat ne peut pas être une aire.
Largeur constante ne signifie pas que toutes les cordes sont égales. La valeur fixe est l'écart entre deux droites d'appui parallèles opposées. Des paires quelconques de points du contour peuvent être plus proches ; il faut donc contrôler la courbe avec des appuis, pas avec une corde choisie au hasard.
Pour aller plus loin
Le glossaire triangle de Reuleaux détaille le premier membre de la famille et sa construction à trois arcs.
Le glossaire tétraèdre de Reuleaux prolonge la comparaison dans l'espace et montre pourquoi l'analogue n'a pas la même propriété.
La notice Reuleaux Franz replace le nom de ces courbes dans l'histoire du génie mécanique.
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