GéométrieNotion · Glossaire
décagone
Un décagone est un polygone plan à dix côtés et dix angles. Comme tout polygone, il peut être convexe ou non convexe. Parmi les décagones, on distingue en particulier les décagones réguliers, dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles égaux : le décagone régulier convexe, dont les angles intérieurs mesurent chacun 144°, et le décagone régulier étoilé. La construction du décagone régulier est étroitement liée à celle du pentagone régulier, les deux figures partageant des propriétés communes liées au nombre d'or. En particulier, dans un décagone régulier convexe inscrit dans un cercle, le rapport entre le rayon du cercle circonscrit et le côté est égal au nombre d'or φ = (1 + √5)/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un décagone en comptant ses dix côtés.
- Distinguer un décagone quelconque, régulier convexe, non convexe ou étoilé.
- Calculer le périmètre, la somme des angles, un angle intérieur et le rayon dans un exemple cohérent.
- Repérer l’ambiguïté d’un rapport qui mentionne une diagonale sans préciser laquelle.
En clair
Tracez dix points, puis reliez chaque point au suivant jusqu’à refermer le contour. Vous obtenez une figure à dix côtés et dix angles : un décagone. Le nombre de côtés suffit pour reconnaître cette famille, même si la figure paraît allongée ou présente un creux.
Lorsque les dix côtés ont la même longueur et les dix angles la même mesure, le décagone est régulier. Sa version convexe ressemble à un cercle facetté ; une version régulière étoilée présente un tracé auto-intersecté en forme d’étoile.
Définition
Un décagone est un polygone du plan formé de dix côtés, donc de dix sommets et de dix angles. Cette définition porte sur le contour : la taille, l’orientation et l’allure générale ne changent pas la nature de la figure. Un décagone peut être convexe, lorsque son contour ne forme aucun creux, ou non convexe.
Un décagone est régulier si ses dix côtés ont la même longueur et si ses dix angles ont la même mesure. Dans le cas régulier convexe, chaque angle intérieur mesure 144°. La somme des angles intérieurs d’un décagone simple vaut 1 440°, car le nombre de côtés, noté n, vaut 10 dans la relation .
Le décagone régulier possède aussi une variante étoilée. Sa construction est liée à celle du pentagone régulier et au nombre d’or, noté φ. Pour le décagone régulier convexe inscrit dans un cercle, si R désigne le rayon du cercle et s la longueur d’un côté, la relation exacte est .
Un exemple, pas à pas
Considérons un décagone régulier convexe inscrit dans un cercle. L’exemple part de données que l’on peut contrôler sur le tracé avant tout calcul.
Données :
le polygone compte 10 côtés ;
chaque côté mesure 5 cm ;
tous les angles intérieurs ont la même mesure ;
le nombre d’or vaut φ = (1 + √5)/2, soit environ 1,618.
le polygone compte 10 côtés ;
chaque côté mesure 5 cm ;
tous les angles intérieurs ont la même mesure ;
le nombre d’or vaut φ = (1 + √5)/2, soit environ 1,618.
1. Multipliez les 10 côtés par 5 cm. Le périmètre vaut donc 10 × 5 cm = 50 cm.
2. Calculez la somme des angles intérieurs : (10 − 2) × 180° = 1 440°.
3. Répartissez cette somme entre les 10 angles égaux : 1 440° ÷ 10 = 144° par angle.
4. Multipliez le côté par φ pour obtenir le rayon du cercle circonscrit : . Le contrôle est double : 10 × 144° redonne 1 440°, et 8,09 ÷ 5 donne environ 1,618.
En pratique
Pour identifier un décagone, suivez son contour et comptez dix segments avant le retour au point de départ. Cette vérification est préférable à une reconnaissance visuelle, car une forme étirée ou creusée reste un décagone.
Pour vérifier qu’il est régulier, comparer seulement deux côtés ne suffit pas. Il faut contrôler l’égalité des dix côtés et celle des dix angles ; sinon, on parle simplement de décagone.
Pour tracer la version régulière convexe, placez dix sommets régulièrement espacés sur un cercle, avec un angle de 36° au centre entre deux sommets consécutifs. Cette méthode est préférable au dessin à main levée lorsque l’égalité doit être vérifiable.
À ne pas confondre
Décagone et pentagone régulier. Le critère qui tranche est le nombre de côtés : le décagone en possède dix, tandis que le pentagone en possède cinq. Leur lien de construction et leurs relations avec le nombre d’or n’en font pas la même figure.
Limites et pièges
Dix côtés ne signifient pas « régulier ». Une figure peut avoir dix côtés de longueurs différentes ou dix angles différents. Le symptôme est une mesure qui varie ; il faut alors la nommer décagone sans ajouter « régulier ».
Convexe, non convexe et étoilé ne se lisent pas de la même façon. Un angle intérieur supérieur à 180° signale un creux dans un décagone simple non convexe. Un tracé étoilé peut en plus être auto-intersecté : la formule usuelle de somme des angles intérieurs ne s’y applique pas directement comme au contour simple.
Il n’existe pas une longueur unique appelée « la diagonale ». Dans un décagone régulier convexe, plusieurs diagonales relient des sommets plus ou moins éloignés. Le nombre d’or apparaît exactement dans le rapport entre le rayon R du cercle circonscrit et le côté s : . Il faut donc préciser les deux segments comparés avant d’annoncer un rapport.
Pour aller plus loin
Le glossaire pentagone régulier éclaire la parenté de construction entre les figures régulières à cinq et dix côtés.
L’entrée nombre d’or approfondit la constante φ qui relie le rayon et le côté du décagone régulier convexe.
L’article Les polygones réguliers replace le décagone parmi les figures dont les côtés et les angles sont égaux.
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