Pentagramme

Dessinez cinq points régulièrement espacés sur un cercle. Au lieu de relier chaque point à son voisin, sautez toujours un point : le trait finit par revenir au départ et forme une étoile à cinq pointes. Cette ligne brisée fermée est un pentagramme régulier.

Ses segments se croisent et font apparaître un petit pentagone au centre. La même proportion, appelée nombre d’or, se retrouve entre une diagonale du pentagone de départ et l’un de ses côtés.

Un pentagramme régulier est le polygone étoilé obtenu à partir des cinq sommets d’un pentagone régulier. En suivant les sommets dans leur ordre autour du cercle, on relie chaque sommet au deuxième suivant. Le tracé visite les cinq sommets avant de revenir au point de départ et se note {5/2} : le premier nombre compte les sommets, le second indique le pas de deux sommets.

Chaque branche tracée est une diagonale du pentagone régulier initial. Si la lettre s désigne la longueur d’un côté du pentagone et la lettre d celle d’une diagonale, leur rapport est le nombre d’or, noté par la lettre grecque phi : $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash phi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$. On a donc $\frac{d}{s}=\varphi \backslash frac\{d\}\{s\}=\backslash phi$, soit environ 1,618.

La régularité est essentielle : elle impose des sommets également espacés sur un cercle et des branches de même longueur. Une rotation ou un retournement change seulement l’orientation du dessin, pas ses rapports géométriques.

On part d’un pentagone régulier dont chaque côté mesure 10 cm. Les cinq sommets sont placés sur un même cercle. La lettre s désigne le côté de 10 cm et la lettre d la diagonale qui devient une branche du pentagramme.

1. Reliez un sommet au deuxième sommet suivant, puis répétez ce saut jusqu’au retour au point de départ. Vous tracez cinq diagonales et obtenez le parcours étoilé {5/2}.

2. Le nombre d’or vaut exactement $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash phi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$, donc approximativement 1,618 034.

3. La longueur d’une diagonale est $d=\varphi sd=\backslash phi\; s$. Avec s = 10 cm, on obtient d ≈ 16,180 cm, soit 16,18 cm au centième.

4. Le parcours complet comporte cinq branches égales. Sa longueur est donc 5 × 16,180 cm = 80,900 cm, soit 80,90 cm au centième.

Le contrôle consiste à diviser la diagonale arrondie par le côté : 16,18 ÷ 10 = 1,618. Le quotient retrouve bien le nombre d’or à trois décimales. La figure rend visibles le côté choisi et la diagonale correspondante.

Pour construire un pentagramme régulier, commencez par cinq points également espacés sur un cercle, puis reliez chaque point au deuxième suivant. Si l’espacement n’est pas régulier, parlez plutôt d’étoile à cinq branches.

Pour vérifier un tracé, mesurez un côté du pentagone initial et l’une de ses diagonales. Le quotient diagonale ÷ côté doit être proche de 1,618, dans la limite de précision de l’instrument.

Pour étudier le nombre d’or dans cette figure, conservez le pentagone régulier de départ. Un dessin seulement ressemblant ne suffit pas, car la proportion dorée dépend de la régularité.

Pentagone régulier. Son contour relie chaque sommet au voisin suivant et forme cinq côtés sans croisement. Le pentagramme relie chaque sommet au deuxième suivant : ses cinq branches se croisent.

Étoile à cinq branches quelconque. Elle peut avoir des pointes ou des intervalles inégaux. Pour reconnaître le pentagramme régulier {5/2}, vérifiez que les cinq sommets sont régulièrement espacés et que le pas reste toujours égal à deux.

Régularité perdue. Cinq segments croisés peuvent conserver une silhouette étoilée sans former un pentagramme régulier. Si les sommets ne sont pas également espacés sur un cercle, il ne faut pas appliquer automatiquement le rapport 1,618.

Orientation trompeuse. Une pointe tournée vers le haut ou vers le bas ne change ni le parcours {5/2} ni les longueurs. Pour classer la figure, suivez l’ordre de connexion des sommets plutôt que son orientation.

Mesures arrondies. Avec un côté de 10 cm, une diagonale mesurée ne vaut pas nécessairement exactement 16,18 cm. Comparez le quotient à 1,618 en tenant compte de la précision du tracé et de l’instrument.

Le pentagone régulier permet d’étudier la figure de départ, ses côtés égaux et ses sommets régulièrement espacés.

Le nombre d’or approfondit le rapport exact entre une diagonale du pentagone régulier et l’un de ses côtés.