décagone régulier

Imaginez dix points régulièrement espacés sur un cercle, puis reliez chaque point au suivant. Le contour obtenu possède dix côtés de même longueur et dix coins qui s’ouvrent de la même façon : c’est un décagone régulier convexe. Chaque angle intérieur mesure 144°.

En reliant plutôt chaque point au troisième suivant, le tracé devient une étoile régulière à dix pointes. L’espacement des sommets reste le même, mais leur ordre de liaison change.

Un décagone régulier convexe est un polygone simple à dix sommets, dont les dix côtés sont isométriques et les dix angles intérieurs égaux. Ses sommets sont placés à intervalles égaux sur un même cercle. L’angle au centre entre deux sommets consécutifs vaut 36°, chaque angle intérieur vaut 144° et leur somme vaut 1 440°.

Le décagone régulier étoilé de la source se note {10/3}. À partir d’un sommet, on rejoint chaque fois le troisième sommet suivant : le tracé parcourt les dix sommets avant de revenir au départ et ses pointes mesurent 72°. Cette étoile auto-intersectée n’est donc pas le contour simple du décagone convexe.

La construction à la règle et au compas est liée à celle du pentagone régulier. Elle fait apparaître le nombre d’or, noté φ. Pour un cercle de rayon R et un côté de longueur s, la relation est $s=2R\sin {18}^{\circ }=R\mathrm{/}\phi s=2R\backslash sin\; 18^\backslash circ=R/\backslash varphi$. Les différentes diagonales sont des cordes obtenues en sautant un, deux ou trois sommets ; leur longueur dépend donc du saut choisi, et leurs formules font elles aussi intervenir φ.

On inscrit un décagone régulier convexe dans un cercle de rayon R = 10 cm. Les dix sommets partagent le tour complet en dix angles au centre égaux. Le nombre d’or vaut $\phi =(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2\approx \mathrm{1,618}\backslash varphi=(1+\backslash sqrt\{5\})/2\backslash approx1\{,\}618$.

1. Divisez 360° par 10 : l’angle au centre entre deux sommets consécutifs vaut 36°.

2. Calculez le côté avec $s=R\mathrm{/}\phi s=R/\backslash varphi$ : s ≈ 10 ÷ 1,618 ≈ 6,18 cm.

3. Multipliez cette longueur par dix : le périmètre vaut environ 61,80 cm.

4. Soustrayez l’angle au centre à 180° : chaque angle intérieur vaut 144°. Le contrôle est immédiat : dix angles de 144° totalisent 1 440°, comme le donne aussi (10 − 2) × 180°.

Pour tracer le décagone inscrit de l’exemple, marquez dix directions espacées de 36° autour du centre, puis reliez les sommets voisins. Si l’on connaît plutôt le côté, la relation s = R/φ donne le rayon du cercle à construire.

Pour vérifier qu’un dessin est régulier, contrôler seulement qu’il possède dix côtés ne suffit pas. Il faut aussi constater l’égalité des côtés et celle des angles ; sur une construction inscrite, l’égalité des dix angles au centre fournit ce contrôle.

Pour obtenir la variante étoilée {10/3}, conservez les mêmes dix sommets, mais reliez chaque sommet au troisième suivant. Relier les sommets voisins redonne le contour convexe : le pas de liaison est donc le critère décisif.

Un décagone quelconque possède dix côtés, mais ils ne sont pas nécessairement égaux et ses angles peuvent différer. Une figure à dix côtés dont un seul angle mesure autrement que les neuf autres est un décagone, pas un décagone régulier.

Un pentagone régulier possède cinq côtés et cinq sommets. Il est étroitement lié à la construction du décagone, mais compter les sommets tranche immédiatement : cinq pour le pentagone, dix pour le décagone.

Un pentagramme a cinq pointes, tandis que le décagone étoilé {10/3} en a dix et parcourt dix sommets. Leur aspect étoilé ne suffit donc pas à les identifier.

Dix côtés égaux ne garantissent pas, à eux seuls, dix angles égaux. Le symptôme est un contour qui semble déformé malgré des longueurs identiques ; il faut contrôler séparément les angles, ou vérifier que les sommets sont régulièrement espacés sur un cercle.

La valeur 144° concerne chaque angle intérieur du décagone régulier convexe. Elle ne doit pas être attribuée aux pointes du tracé {10/3}, qui mesurent 72°. Le croisement des arêtes signale que l’on est passé au cas étoilé.

Parler de « la diagonale » d’un décagone régulier est ambigu. Depuis un sommet, plusieurs cordes sont possibles selon le nombre de sommets sautés, et elles n’ont pas toutes la même longueur. Il faut préciser les deux sommets reliés ou le pas de liaison avant tout calcul.

La notation {10/3} fixe un pas de trois sommets. Changer ce pas ne produit pas automatiquement une autre étoile simple de même nature : certains pas décomposent le tracé en plusieurs polygones. Il faut suivre le parcours jusqu’au retour au sommet initial.

Le pentagone régulier éclaire la construction à la règle et au compas ainsi que le rôle des triangles d’or.

Le nombre d’or donne le cadre algébrique des rapports de longueurs rencontrés dans les côtés et les diagonales.

La fiche Diagonale précise comment nommer les segments joignant deux sommets non consécutifs d’un polygone.