pentagone régulier

Tracez cinq points régulièrement espacés sur un cercle, puis reliez deux points voisins : vous obtenez un pentagone régulier convexe. Ses cinq côtés ont la même longueur et ses cinq angles ont la même mesure.

Si vous reliez un point sur deux, le même cercle fait apparaître une étoile à cinq branches. Les diagonales s’y découpent suivant le nombre d’or, ce qui explique la présence répétée de triangles d’or.

Un pentagone régulier est une figure à cinq sommets dont les cinq côtés ont une longueur commune et dont les cinq angles sont égaux. Dans le plan euclidien, sa forme convexe est inscrite dans un cercle : les cinq sommets partagent donc le même cercle circonscrit. Deux rayons menés vers des sommets voisins forment un angle au centre de 72°, tandis que chaque angle intérieur mesure 108°.

En reliant chaque sommet au deuxième suivant, on obtient la variante croisée, ou pentagone étoilé. La superposition de la forme convexe et de ses diagonales dessine un pentagramme et plusieurs triangles d’or. Le nombre d’or, noté φ, vaut $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\backslash varphi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}$. Dans un pentagone régulier convexe, le rapport entre la longueur d’une diagonale et celle d’un côté est φ.

La constructibilité à la règle et au compas tient notamment à l’expression $\cos {72}^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\backslash cos\; 72^\backslash circ=\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}-1\}\{4\}$. La relation correcte avec l’angle de 36° est $\phi =2\cos {36}^{\circ }\backslash varphi=2\backslash cos\; 36^\backslash circ$. L’égalité des côtés et des angles reste la propriété déterminante ; la taille, l’orientation et le style du tracé ne changent pas la nature de la figure.

Considérons un pentagone régulier convexe dont chaque côté mesure 10 cm. Il possède 5 côtés et 5 angles égaux. Le nombre d’or vaut φ = (1 + √5) / 2, soit environ 1,618.

1. Le périmètre est le produit du nombre de côtés par leur longueur : 5 × 10 = 50 cm.
2. Une diagonale mesure φ fois le côté : 1,618 × 10 ≈ 16,18 cm.
3. La somme des angles intérieurs vaut (5 − 2) × 180° = 540°. Chaque angle intérieur mesure donc 540° / 5 = 108°.
4. Le tour complet du centre se partage en 5 parts égales : 360° / 5 = 72°.

Le contrôle est immédiat : 5 × 72° = 360°, et le quotient 16,18 / 10 est voisin de 1,618. La figure associe donc un périmètre de 50 cm, des angles intérieurs de 108° et des diagonales d’environ 16,18 cm.

Pour construire la figure, on place cinq points séparés par des angles au centre de 72° sur un même cercle, puis on relie les points voisins. Cette méthode est préférable à un tracé à main levée quand l’égalité doit être garantie.

Pour contrôler un dessin, on mesure les cinq côtés et les cinq angles. Cinq longueurs égales ne suffisent pas : si les angles diffèrent, le pentagone est équilatéral mais pas régulier.

Pour faire apparaître le nombre d’or, on compare une diagonale à un côté. Dans l’exemple de côté 10 cm, une diagonale doit mesurer environ 16,18 cm ; un écart important signale que le tracé n’est pas régulier.

Pentagone quelconque. Il possède bien cinq côtés, mais ceux-ci et ses angles ne sont pas nécessairement égaux. Un contour à cinq côtés dont deux longueurs diffèrent n’est donc pas un pentagone régulier.

Pentagone équilatéral. Ses cinq côtés sont égaux, sans que ses cinq angles le soient forcément. La mesure des angles tranche : ils valent tous 108° dans le pentagone régulier convexe.

Pentagramme. Ce nom désigne l’étoile formée en reliant un sommet sur deux, et aussi son usage symbolique. Le pentagone régulier convexe, lui, suit seulement les cinq côtés extérieurs entre sommets voisins.

Forme étoilée. Le tracé croisé possède cinq branches et des intersections. Il ne faut pas lire ses pointes comme les angles intérieurs de 108° du pentagone convexe ; il faut préciser quelle forme et quels angles sont étudiés.

Relation trigonométrique. Le nombre d’or n’est pas l’inverse du cosinus de 36°. Les identités exactes sont φ = 2 cos 36° et 1 / cos 36° = 2 / φ ; les confondre fausse les longueurs calculées.

Changement de géométrie. Dans le plan euclidien, cinq angles droits donneraient une somme de 450°, incompatible avec les 540° d’un pentagone convexe. Dans le plan hyperbolique, un pentagone régulier à cinq angles droits existe : les règles euclidiennes ne s’y transfèrent pas telles quelles.

nombre d’or — Pour approfondir le rapport φ qui relie une diagonale au côté du pentagone régulier.

Pentagramme — Pour étudier l’étoile obtenue en reliant un sommet sur deux et distinguer sa géométrie de sa symbolique.

triangle d’or — Pour reconnaître les triangles isocèles engendrés par les côtés et les diagonales de la figure.