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triangle d'or
Le triangle d'or est un triangle isocèle dans lequel le rapport entre la longueur des côtés égaux et la base est égal au nombre d'or φ = (1 + √5)/2. Ses angles mesurent respectivement 72°, 72° et 36° (les deux angles à la base valent 72° et l'angle au sommet vaut 36°). Ce triangle est étroitement lié aux pentagones réguliers et aux pentagrammes, car il apparaît naturellement lors du tracé de la diagonale d'un pentagone régulier.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rapport exact entre un côté égal et la base.
- Relier ce rapport aux angles 72°, 72° et 36°.
- Construire puis contrôler un triangle d’or de base 10 cm.
- Distinguer le triangle d’or du gnomon d’or et du triangle équilatéral.
En clair
Imaginez un triangle isocèle assez élancé : ses deux longs côtés ont la même longueur et son petit angle, placé entre eux, mesure 36°. Les deux autres angles mesurent chacun 72°. Ce triangle est dit « d’or » parce qu’un côté égal mesure environ 1,618 fois la longueur de la base. Ce nombre, noté φ et appelé nombre d’or, fixe sa forme : agrandir ou réduire le dessin ne change pas cette proportion.
Définition
Un triangle d’or est un triangle isocèle non dégénéré. On note b la longueur de sa base et s la longueur de chacun de ses deux côtés égaux. Sa condition caractéristique est , où le nombre d’or φ vaut environ 1,618. La base est donc le côté le plus court. Réciproquement, la base vaut .
Cette proportion impose les angles : l’angle au sommet, compris entre les côtés égaux, vaut 36°, et les deux angles à la base valent chacun 72°. La condition sur les longueurs et celle sur les angles décrivent donc la même forme, à une similitude près. Toute copie obtenue par agrandissement, réduction, rotation ou symétrie reste un triangle d’or.
Dans un pentagone régulier, deux diagonales et un côté convenablement choisis délimitent un tel triangle : les diagonales en sont les côtés égaux, et le rapport de la diagonale au côté du pentagone est φ. Le pentagramme formé par les diagonales fait ainsi apparaître plusieurs triangles d’or emboîtés.
De quoi c'est fait
Le triangle possède une base, deux côtés égaux, un axe de symétrie et trois angles. La base est le côté court. Les côtés égaux se rejoignent au sommet principal ; leur longueur divisée par celle de la base vaut φ. L’axe de symétrie passe par ce sommet et par le milieu de la base : il partage le triangle en deux triangles rectangles congruents. La figure proposée rend visibles ces dépendances entre proportion et angles.
Le rapport d’or détermine entièrement les angles, tandis qu’une longueur choisie fixe ensuite l’échelle. Avec la base seule, on calcule les deux côtés égaux ; avec un côté égal seul, on retrouve la base. La position, l’orientation, la couleur et la taille du tracé ne font pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
On veut construire un triangle d’or dont la base mesure 10 cm. Les données sont la longueur de base b = 10 cm et le nombre d’or . Les deux côtés égaux auront la même longueur s.
1. On applique le rapport caractéristique : .
2. On remplace la base par 10 cm : .
3. On obtient, après arrondi au centième, .
4. On trace une base de 10 cm, puis deux arcs de rayon 16,18 cm centrés sur ses extrémités. Leur intersection donne le sommet principal.
2. On remplace la base par 10 cm : .
3. On obtient, après arrondi au centième, .
4. On trace une base de 10 cm, puis deux arcs de rayon 16,18 cm centrés sur ses extrémités. Leur intersection donne le sommet principal.
Le triangle obtenu a donc une base de 10 cm et deux côtés d’environ 16,18 cm. Pour contrôler le résultat, on divise une longueur égale par la base : 16,18 ÷ 10 = 1,618, valeur proche de φ à la précision du tracé. Une mesure des angles doit donner environ 72°, 72° et 36°.
En pratique
Pour reconnaître un triangle d’or sur une figure cotée, on vérifie d’abord que deux côtés sont égaux, puis que le quotient côté égal/base est proche de 1,618. Si seules les mesures d’angles sont disponibles, le triplet 72°, 72°, 36° fournit un contrôle plus direct.
Pour le construire à une échelle choisie, on fixe la base et on multiplie sa longueur par φ afin d’obtenir le rayon des deux arcs de construction. Si l’on connaît plutôt un côté égal, on le divise par φ pour retrouver la base.
Dans un pentagone régulier ou un pentagramme, on repère les triangles dont deux côtés suivent des diagonales et dont la base suit un côté approprié. Le calcul du rapport tranche lorsque l’emboîtement des segments rend la forme trompeuse à l’œil.
À ne pas confondre
Le gnomon d’or. C’est aussi un triangle isocèle lié à φ, mais sa base est plus longue que chacun des côtés égaux. Ses angles valent 36°, 36° et 108°. Un angle obtus de 108° exclut donc le triangle d’or décrit ici.
Le triangle équilatéral. Ses trois côtés ont le même rapport 1 et ses trois angles valent 60°. Même si son dessin est symétrique, un quotient côté/base égal à 1, et non à φ, suffit à le distinguer d’un triangle d’or.
Limites et pièges
Un rapport approché n’est pas une identité. Avec des côtés mesurés à la règle, 16,18 cm et 10 cm donnent 1,618, mais ces valeurs arrondies ne prouvent pas une égalité exacte à φ. Il faut comparer l’écart à la précision de l’instrument ou travailler avec les longueurs exactes de la construction.
L’ordre du quotient compte. La définition utilise côté égal/base = φ. Si l’on calcule base/côté égal, on obtient l’inverse de φ, soit φ − 1, environ 0,618. Inverser le quotient ne rend pas le triangle incorrect, mais rend incorrect le critère annoncé.
La forme seule ne suffit pas. Une esquisse élancée peut sembler dorée sans respecter le rapport. Il faut contrôler deux côtés égaux et au moins l’une des signatures numériques : le rapport φ ou les angles exacts 72°, 72°, 36°.
Pour aller plus loin
Le nombre d’or permet d’approfondir les identités de φ qui relient directement la base et les côtés égaux.
Le pentagone régulier montre pourquoi le rapport entre une diagonale et un côté fait apparaître des triangles d’or emboîtés.
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