spirale d'or

Dessinez un rectangle un peu plus long que haut, puis retirez-en le plus grand carré possible. Le petit rectangle restant a exactement la même forme, mais il est tourné et réduit. En recommençant, on obtient des carrés qui s'enroulent autour d'un même point.

Un quart de cercle tracé dans chaque carré rejoint le suivant. Leur enchaînement forme la spirale d'or : le même motif réapparaît à chaque quart de tour, avec une taille divisée par le nombre d'or.

Un rectangle d'or a pour rapport entre son grand côté et son petit côté le nombre d'or, noté φ : $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}\backslash varphi=\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\backslash approx1\{,\}618$. Lorsqu'on lui retire un carré construit sur son petit côté, le rectangle restant est encore un rectangle d'or, tourné d'un quart de tour et réduit d'un facteur φ.

La spirale d'or décrite ici est la réunion des quarts de cercle inscrits dans les carrés successifs. Si le premier carré a pour côté r₀, le rayon du quart de cercle de rang n, noté r_n, vérifie $r_n=\frac{r_0}{{\phi }^n}r\_n=\backslash frac\{r\_0\}\{\backslash varphi^n\}$. Les raccords sont tangents, tandis que les rayons décroissent vers zéro autour du point asymptote O.

Une similitude directe centrée en O, d'angle orienté −π/2 et de rapport 1/φ, envoie chaque arc sur l'arc voisin orienté vers l'intérieur. Cette autosimilarité exacte distingue la construction fondée sur φ de la spirale de Fibonacci. La même idée peut partir d'un triangle d'or, triangle isocèle dont le rapport grand côté sur base vaut φ et dont l'angle au sommet vaut π/5 ; elle produit alors la variante triangulaire.

Construisons les premiers arcs dans un rectangle d'or dont le petit côté mesure 10 cm. Son grand côté mesure exactement 10φ cm, soit environ 16,180 cm.

Données :
petit côté : 10 cm ;
nombre d'or : φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 ;
rayon initial : r₀ = 10 cm ;
réduction à chaque étape : division par φ.

1. Retirer le carré de côté 10 cm ; il reste un rectangle de 10 cm sur 10/φ ≈ 6,180 cm.
2. Retirer dans ce rectangle un carré de côté r₁ = 10/φ ≈ 6,180 cm.
3. Le rectangle suivant fournit un carré de côté r₂ = 10/φ² ≈ 3,820 cm.
4. Tracer dans chaque carré le quart de cercle qui prolonge le précédent.

Les trois premiers rayons mesurent donc environ 10 cm, 6,180 cm et 3,820 cm. Pour contrôler la construction, divisez deux rayons consécutifs : 10/6,180 ≈ 1,618 et 6,180/3,820 ≈ 1,618, à l'arrondi près.

Pour construire la courbe à la règle et au compas, partez d'un rectangle de 10 cm sur 10φ cm. À chaque étape, isolez le plus grand carré, puis tracez au compas le quart de cercle de rayon égal au côté de ce carré.

Pour contrôler un dessin annoncé comme exact, mesurez les côtés de deux carrés consécutifs. Leur quotient doit valoir φ, dans la limite de précision du tracé ; une simple ressemblance visuelle ne suffit pas.

Pour modéliser une courbe entièrement lisse avec le même changement d'échelle à chaque rotation, choisissez plutôt une spirale logarithmique. Les quarts de cercle conviennent lorsque l'objet étudié est la subdivision du rectangle d'or elle-même.

La spirale logarithmique est une courbe lisse dont le rayon est multiplié par un facteur constant après une rotation fixée. La spirale d'or construite ici assemble des quarts de cercle : elles sont très proches visuellement, mais leur courbure ne varie pas de la même façon.

La spirale de Fibonacci utilise des carrés dont les côtés sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. Le quotient de ces côtés approche φ sans lui être constamment égal ; l'invariance stricte par une même similitude n'est donc pas obtenue à toutes les étapes.

Une construction finie n'atteint pas le point O. Après n étapes, le rayon vaut r₀/φⁿ et reste positif. O est un point asymptote obtenu seulement à la limite ; il ne faut pas le présenter comme l'extrémité d'un dernier arc.

Des raccords tangents ne font pas une spirale logarithmique. Deux quarts de cercle successifs partagent bien une même tangente au raccord, mais leur courbure change brusquement puisque leur rayon change. Pour une courbure variant continûment, il faut employer le modèle logarithmique.

Un rapport arrondi ne donne qu'un dessin approché. Construire avec 1,62 au lieu de φ accumule un décalage au fil des subdivisions. Pour conserver l'autosimilarité exacte, utilisez la valeur φ = (1 + √5) / 2 ; avec des mesures matérielles, concluez seulement dans la précision des instruments.

Les rectangles de Fibonacci ne sont pas tous dorés. Leur rapport de côtés varie d'une étape à l'autre et tend vers φ. Le symptôme du piège est une suite de carrés entiers présentée comme strictement invariante ; il faut alors parler de spirale de Fibonacci.

Le nombre d'or explique le facteur φ qui conserve la forme du rectangle après retrait d'un carré.

La spirale logarithmique donne le modèle lisse voisin et précise son invariance par rotation et changement d'échelle.

La suite de Fibonacci montre pourquoi les rapports de termes consécutifs approchent le nombre d'or sans rester constants.

Le triangle d'or fournit l'autre support géométrique mentionné dans la construction de la variante triangulaire.