AnalyseObjet mathématique · Glossaire
suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est définie par les conditions initiales u₀ = 0 et u₁ = 1, et la relation de récurrence uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ pour tout n ≥ 0. Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci. Le rapport de deux termes consécutifs uₙ₊₁/uₙ converge vers le nombre d'or φ = (1 + √5)/2, concept auquel reste attaché le nom de Fibonacci, dit aussi Léonard de Pise. La formule de Binet fournit une expression explicite du terme général : Fₙ = (φⁿ − φ'ⁿ)/√5, où φ est le nombre d'or et φ' = −1/φ = (1 − √5)/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire les premiers nombres de Fibonacci avec la récurrence.
- Distinguer la suite, le nombre d’or et la formule de Binet.
- Interpréter sans erreur la convergence des quotients consécutifs.
En clair
Écrivons 0, puis 1. Pour obtenir chaque nombre suivant, additionnons simplement les deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Cette chaîne de nombres est la suite de Fibonacci. Deux valeurs de départ et une même règle suffisent donc à la prolonger aussi loin que voulu.
À mesure que les termes grandissent, le quotient d’un terme par celui qui le précède se rapproche du nombre d’or, noté φ.
Définition
La suite de Fibonacci est une suite de nombres indexés par les entiers naturels. Le terme d’indice 0, noté u0, vaut 0, et le terme d’indice 1, noté u1, vaut 1. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, le terme situé deux rangs plus loin est la somme des deux précédents : . Ces termes sont les nombres de Fibonacci.
La récurrence construit un terme à partir des précédents. La formule de Binet donne au contraire directement le terme d’indice n, alors noté Fn. Le nombre d’or est noté φ et vaut (1 + √5)/2 ; son nombre conjugué, noté φ′, vaut −1/φ, soit (1 − √5)/2. Avec ces notations :
Pour tout indice n au moins égal à 1, le quotient un+1/un est défini, et il converge vers φ lorsque n grandit. Le nom de Fibonacci, également appelé Léonard de Pise, reste attaché à cette suite et au nombre d’or.
De quoi c'est fait
La suite repose sur quatre éléments. Les deux termes initiaux, u0 = 0 et u1 = 1, amorcent le calcul. L’indice n indique la place d’un terme. La relation de récurrence relie chaque nouveau terme aux deux places précédentes. Enfin, la liste ordonnée des résultats forme la suite.
Les valeurs initiales ne suffisent pas sans la règle, et la règle ne détermine pas cette suite particulière sans ces deux valeurs. Ensemble, elles permettent de construire tous les nombres de Fibonacci. La convergence des quotients vers φ et la formule de Binet sont des propriétés de l’objet ainsi défini ; elles ne remplacent pas ses données de départ.
Un exemple, pas à pas
Partons des deux données imposées : le terme u0 vaut 0 et le terme u1 vaut 1. Nous allons atteindre le terme d’indice 7, puis observer quelques quotients.
1. Calcul des premiers termes. Chaque ligne additionne les deux résultats qui la précèdent.
2. Prolongement. À partir de 3 et 5, on obtient u6 = 3 + 5 = 8. Puis u7 = 5 + 8 = 13. La suite calculée est donc 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.
3. Quotients consécutifs. Les valeurs 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,667, 8/5 = 1,6 et 13/8 = 1,625 oscillent autour de φ ≈ 1,618. Elles illustrent un rapprochement, pas une égalité à chaque rang.
4. Contrôle. Les deux derniers calculs se vérifient localement : 3 + 5 = 8 et 5 + 8 = 13. Le diagramme associé retrace les huit termes et met en évidence la première de ces additions.
En pratique
Pour prolonger une liste déjà commencée par 0 et 1, la récurrence est le geste naturel : on conserve les deux derniers termes, on les additionne, puis on recommence. Si une addition ne reproduit pas le terme suivant, la liste contient une erreur.
Pour obtenir un terme d’indice fixé sans écrire tous les précédents, la formule de Binet fournit une expression directe. La récurrence reste préférable lorsque l’on veut produire successivement toute la liste.
Pour approcher le nombre d’or à partir de la suite, on divise un terme non nul par son prédécesseur non nul. Des quotients successifs qui se stabilisent autour de 1,618 rendent visible la convergence annoncée.
À ne pas confondre
La suite de Fibonacci et le nombre d’or. La première est une liste de nombres entiers construite par récurrence ; le second est le nombre φ = (1 + √5)/2. Le cas 8/5 = 1,6 tranche nettement : ce quotient provient de deux termes de la suite, mais il n’est pas égal à φ.
La relation de récurrence et la formule de Binet. La récurrence utilise les deux termes précédents, tandis que Binet exprime directement Fn à partir de l’indice n. Pour trouver 13 après 5 et 8, l’addition 5 + 8 relève de la récurrence, pas de la formule explicite.
Limites et pièges
Division par le premier terme. Le quotient u1/u0 demanderait de diviser 1 par 0 : il n’est pas défini. Pour étudier les quotients consécutifs, on commence donc à u2/u1.
Convergence ne signifie pas égalité. À un rang fini, 13/8 = 1,625 reste différent de φ ≈ 1,618. Il faut observer le comportement des quotients lorsque l’indice grandit, et non conclure à partir d’une égalité supposée.
Deux notations dans une même source. La définition récurrente emploie un, tandis que la formule de Binet emploie Fn. Ces lettres désignent ici le même terme d’indice n ; avant tout calcul, il faut conserver une notation cohérente.
Pour aller plus loin
nombre d'or — Pour approfondir la limite des quotients de deux nombres de Fibonacci consécutifs et la valeur exacte de φ.
Redécouvrir le classique de Fibonacci — Pour prolonger la découverte de Fibonacci par une lecture entièrement consacrée à ce classique.
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