Histoire et cultureNotion · Glossaire
Binet Jacques
Jacques Binet est un mathématicien et astronome français dont le nom désigne deux formules distinctes. L’une donne directement un terme de Fibonacci à partir de son indice, selon la convention d’indexation choisie. L’autre exprime la vitesse et l’accélération d’un point soumis à une accélération centrale à partir de sa trajectoire polaire, lorsque le rayon est non nul, son inverse deux fois dérivable par rapport à l’angle et la vitesse aérolaire constante non nulle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Jacques Binet et les domaines de ses travaux.
- Calculer un terme de Fibonacci avec la première formule.
- Lire les grandeurs de la formule liée à l’accélération centrale.
- Éviter la confusion entre les deux formules de Binet.
En clair
En 1843, Jacques Binet est élu membre de l’Académie des Sciences après avoir enseigné à l’École Polytechnique et occupé une chaire au Collège de France. Ce mathématicien et astronome français travaille autant sur les fonctions eulériennes et les matrices que sur la mécanique et l’astronomie.
Son nom reste attaché à deux raccourcis de calcul très différents : l’un atteint directement un terme de Fibonacci grâce au nombre d’or ; l’autre relie la trajectoire d’un point soumis à une accélération centrale à sa vitesse et à son accélération.
Définition
Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) est un mathématicien et astronome français, diplômé puis enseignant de l’École Polytechnique. Il occupe aussi une chaire au Collège de France et devient membre de l’Académie des Sciences en 1843. Ses travaux concernent les fonctions eulériennes, le calcul matriciel, la mécanique et l’astronomie.
Une première formule qui porte son nom donne un terme de la suite de Fibonacci sans calculer tous les précédents. Pour la convention où le terme d’indice zéro vaut 1 et le terme d’indice un vaut 1, on note φ le nombre d’or (1 + √5)/2 et ψ son conjugué (1 − √5)/2. Le terme d’indice n est alors donné par :
La seconde formule concerne un point M soumis à une accélération centrale de centre O. Sa position est décrite par la distance r et l’angle polaire α. On pose h = 1/r et l’on note C la constante égale au double de la vitesse aérolaire. Si v désigne la vitesse et si Γ est le vecteur accélération, alors :
Le vecteur u est le vecteur unitaire porté par l’axe OM.
Un exemple, pas à pas
On cherche le terme d’indice 4 de la suite 1, 1, 2, 3, 5. Les données sont :
— l’indice n = 4 ;
— le nombre d’or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 ;
— son conjugué ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618034 ;
— √5 ≈ 2,236068.
— l’indice n = 4 ;
— le nombre d’or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 ;
— son conjugué ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618034 ;
— √5 ≈ 2,236068.
1. Remplacer n par 4 donne l’exposant n + 1 = 5.
2. Calculer les puissances donne φ5 ≈ 11,09017 et ψ5 ≈ −0,09017.
3. Soustraire donne environ 11,18034.
4. Diviser par √5 donne :
2. Calculer les puissances donne φ5 ≈ 11,09017 et ψ5 ≈ −0,09017.
3. Soustraire donne environ 11,18034.
4. Diviser par √5 donne :
Le terme d’indice 4 vaut exactement 5.
Le contrôle se refait sans nombres irrationnels : en additionnant chaque fois les deux termes précédents, on obtient 1 + 1 = 2, puis 1 + 2 = 3 et enfin 2 + 3 = 5. Le schéma de calcul met en regard ces deux chemins vers le même résultat.
En pratique
Pour obtenir un terme isolé de la suite 1, 1, 2, 3, 5, la première formule de Binet remplace l’addition successive de tous les termes précédents. La récurrence reste préférable lorsque l’on veut justement construire la suite terme après terme.
En mécanique, la seconde formule s’emploie lorsque la trajectoire centrale est décrite par la distance r en fonction de l’angle α. Si la position est plutôt donnée en fonction du temps, une description cinématique temporelle fournit un point de départ plus direct.
Dans un texte historique, l’expression « formule de Binet » ne suffit donc pas à identifier le sujet. La présence de Fibonacci et du nombre d’or signale la première ; les mots trajectoire, vitesse aérolaire et accélération centrale signalent la seconde.
À ne pas confondre
Formule de Binet pour Fibonacci et formule de Binet en cinématique. La première calcule un nombre à partir d’un indice entier n ≥ 0 ; la seconde décrit vitesse et accélération à partir d’une trajectoire polaire. Pour n = 4 dans la suite 1, 1, 2, 3, 5, il s’agit de la formule de Fibonacci, pas de la formule du mouvement central.
Limites et pièges
L’indice dépend de la convention choisie. La formule avec l’exposant n + 1 donne 1 pour n = 0 et 1 pour n = 1. Si une suite est numérotée 0, 1, 1, 2, 3, 5, le décalage change : recopier la formule sans vérifier les deux premiers termes produit un résultat décalé d’un rang.
Les décimales masquent un résultat entier. Dans le calcul de u4, φ et ψ sont irrationnels. Des arrondis trop précoces peuvent donner 4,999… ou 5,001… ; il faut conserver les expressions exactes jusqu’au résultat, puis utiliser les décimales seulement pour le contrôle.
La formule cinématique exige un rayon non nul et une trajectoire suffisamment régulière. Comme h = 1/r et que sa dérivée seconde intervient, le passage par r = 0 ou l’absence de deux dérivées par rapport à α bloque le calcul. Il faut alors revenir à une autre description du mouvement.
L’angle doit réellement paramétrer le mouvement. Si la constante C, double de la vitesse aérolaire, vaut 0, l’angle α peut cesser d’être un paramètre utilisable. Les expressions en dérivées par rapport à α ne doivent alors pas être appliquées mécaniquement.
Pour aller plus loin
La suite de Fibonacci précise la récurrence et les conventions d’indexation auxquelles s’applique la première formule de Binet.
Le nombre d'or approfondit la constante φ qui rend possible l’expression explicite des termes de Fibonacci.
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