ArithmétiqueFormule · Glossaire
formule de Binet
Le nom de Binet est associé à deux formules distinctes dans des domaines différents. La première formule de Binet concerne la suite de Fibonacci et donne une expression explicite du terme d'indice n : uₙ = (1/√5) [((1+√5)/2)^(n+1) − ((1−√5)/2)^(n+1)]. Cette formule fait intervenir le nombre d'or φ = (1+√5)/2 et son conjugué, permettant de calculer tout terme de la suite sans récurrence. La seconde formule de Binet appartient à la mécanique du point et concerne le mouvement à accélération centrale. Si un point mobile M est soumis à une force centrale de centre O, si (r, α) sont ses coordonnées polaires et h = 1/r, alors l'accélération radiale est liée à h par : Γ = −C²h² (d²h/dα² + h) uᵣ, où C est la constante des aires (double de la vitesse aérolaire). Cette formulation simplifie l'étude des trajectoires kepléniennes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier immédiatement laquelle des deux formules de Binet est en jeu.
- Calculer exactement u₅ avec la convention u₀ = u₁ = 1.
- Lire les variables et les hypothèses de la formule de mécanique centrale.
- Éviter le décalage d'indice et les erreurs dues aux arrondis.
En clair
Dans la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, chaque nombre s'obtient normalement en additionnant les deux précédents. La formule de Binet offre un raccourci : elle atteint directement le terme choisi grâce au nombre d'or, sans reconstruire toute la suite.
Le même nom désigne un autre outil en mécanique. Au lieu de suivre la distance d'un mobile au fil du temps, cette seconde formule relie sa distance au centre à l'angle parcouru. Les deux usages n'ont donc en commun que leur nom.
Définition
La formule de Binet désigne d'abord une forme explicite d'une suite de Fibonacci. Avec la convention u0 = u1 = 1, le terme d'indice n est obtenu sans calculer les termes précédents. On note φ le nombre d'or, égal à (1 + √5)/2, et ψ son conjugué, égal à (1 − √5)/2. La formule s'écrit . Le décalage n + 1 dépend de la convention d'indexation choisie pour la suite.
En mécanique du point, la formule de Binet porte sur un mouvement soumis à une force centrale de centre O. Le mobile M a pour coordonnées polaires la distance r et l'angle α. On pose h = 1/r et l'on note C la constante des aires, c'est-à-dire le double de la vitesse aérolaire. L'accélération radiale s'exprime alors par , où le vecteur ur pointe dans la direction radiale. Cette écriture transforme l'étude de la trajectoire en une relation portant sur h en fonction de l'angle.
Le principe
Pour la suite définie par u0 = u1 = 1 et un+2 = un+1 + un, si n est un entier naturel, alors : .
Pour un mouvement central, sur un arc non radial paramétrable par l'angle polaire α, si r est la distance au centre avec r ≠ 0, h = 1/r et C ≠ 0 la constante des aires, alors : . Le facteur entre parenthèses détermine l'accélération radiale à partir de la forme de l'orbite.
Quand l'utiliser
Dans le cas de Fibonacci, il faut connaître les deux termes initiaux et la convention d'indice. La version avec l'exposant n + 1 s'applique à u0 = u1 = 1 et à la récurrence un+2 = un+1 + un. Si la suite commence plutôt par 0, 1, la formule doit être décalée : conserver n + 1 donnerait le terme suivant.
Dans le cas mécanique, la force doit être centrale, la trajectoire doit être décrite en coordonnées polaires et r doit rester non nul pour définir h = 1/r. Il faut aussi pouvoir paramétrer l'orbite par l'angle α. Pour un mouvement purement radial, la constante des aires est nulle et l'angle ne fournit plus ce paramétrage ; les équations radiales en fonction du temps sont alors plus adaptées.
Un exemple, pas à pas
On cherche le terme u5 de la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8 sans reconstruire tous ses termes. Données : u0 = u1 = 1, n = 5, φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2.
1. L'exposant imposé par cette convention est n + 1, donc 6. La formule donne .
2. Les deux nombres φ et ψ vérifient x2 = x + 1. En répétant cette relation jusqu'à la puissance 6, on obtient φ6 = 8φ + 5 et ψ6 = 8ψ + 5.
3. La soustraction annule les deux termes 5. Comme φ − ψ = √5, le numérateur vaut 8√5, puis .
Le résultat est donc u5 = 8. Le contrôle par la récurrence est refaisable : 1 + 1 = 2, puis 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 et 3 + 5 = 8. La figure récapitule cette progression et met en évidence le terme calculé.
En pratique
Pour obtenir un terme isolé de la suite de Fibonacci, la forme explicite évite de conserver tous les termes précédents. Si plusieurs termes consécutifs sont demandés, la récurrence est souvent le geste le plus direct.
Pour contrôler un calcul exact, on peut comparer le résultat de Binet avec quelques additions successives. Un désaccord d'un rang signale généralement une convention initiale différente, 0, 1 au lieu de 1, 1.
En mécanique centrale, la seconde formule est utile lorsque la trajectoire est donnée sous la forme r en fonction de l'angle α. Si la position est connue en fonction du temps, les équations du mouvement dans ce paramètre sont plus naturelles.
À ne pas confondre
Les deux formules de Binet. Celle de Fibonacci contient un indice entier n, le nombre d'or φ et son conjugué ψ. Celle de mécanique contient une distance r, un angle α et une constante des aires C. Une question sur une orbite relève de la seconde, pas de la première.
Formule explicite et relation de récurrence. La formule explicite fournit un directement à partir de n. La récurrence fournit un nouveau terme à partir des deux précédents. Pour calculer u5 depuis u3 et u4, l'addition relève de la récurrence.
Limites et pièges
Décalage d'indice. Avec les termes initiaux 0 et 1, l'exposant est n et non n + 1. À l'indice 0, la formule de la source donne 1 : elle correspond donc bien à la convention 1, 1. Il faut toujours vérifier les deux premiers termes avant d'appliquer la formule.
Arrondis numériques. Les puissances de φ et ψ sont irrationnelles, alors que leur combinaison donne un entier. Un calcul décimal peut produire 7,999999 au lieu de 8 ; il faut garder l'expression exacte aussi longtemps que possible, puis contrôler l'entier obtenu.
Terme conjugué négligé. Comme la valeur absolue de ψ est inférieure à 1, ψn+1 devient petit quand n croît, mais il n'est pas nul. Le supprimer donne une approximation utile pour l'ordre de grandeur, pas l'identité exacte.
Mouvement non central ou radial. Si la force n'est pas dirigée vers un centre fixe, la constante des aires utilisée ici n'est pas garantie. Si C = 0, le mouvement est radial et α ne paramètre plus la trajectoire. Dans ces deux cas, il faut revenir aux équations du mouvement adaptées.
Pour aller plus loin
Suite de Fibonacci — Pour replacer la formule explicite dans la définition récurrente de la suite et ses premiers termes.
Nombre d'or — Pour approfondir le nombre φ qui gouverne la forme explicite et son comportement asymptotique.
Coordonnées polaires — Pour mieux lire les variables r et α employées dans la formule mécanique.
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