GéométrieNotion · Glossaire
spirale de Galilée
La spirale de Galilée est une courbe d'équation polaire ρ = a + bθ², étudiée par Fermat en 1636, dont le nom évoque un lien avec Galilée. Elle se définit comme la trajectoire d'un point animé d'un mouvement uniformément accéléré sur une droite d'un plan, lorsque cette droite tourne elle-même de façon uniforme autour de l'un de ses points, à condition que la vitesse initiale du point le long de la droite soit nulle et que l'origine angulaire corresponde à cet instant. On peut également l'obtenir comme roulette associée au roulement d'une parabole sur une spirale d'Archimède. La spirale de Galilée constitue par ailleurs un cas particulier de la courbe isochrone de Varignon.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la rotation uniforme et le mouvement accéléré à la loi quadratique en angle.
- Calculer le rayon et les coordonnées de trois points de la courbe.
- Reconnaître les rôles distincts de la parabole, de la spirale d'Archimède et de la courbe isochrone.
- Traiter les paramètres nuls, les rayons négatifs et les passages par le pôle.
En clair
Imaginez une droite qui pivote à vitesse régulière autour d'un point fixe. Un repère glisse en même temps sur cette droite, avec une vitesse qui augmente régulièrement. Sa distance au centre grandit alors comme le carré de l'angle parcouru. Dans notre exemple, aux angles 0, 1 et 2 radians, cette distance vaut 1, 2 et 5 unités. Les positions successives dessinent la spirale de Galilée.
Définition
La spirale de Galilée est une courbe plane décrite en coordonnées polaires. L'angle polaire est noté θ et la coordonnée radiale signée est notée ρ. Le paramètre a donne la valeur de ρ pour θ = 0, tandis que le paramètre b règle sa variation quadratique. Son équation est . Si θ est exprimé en radians et ρ dans une unité de longueur, a s'exprime dans cette unité et b dans cette unité par radian carré.
Cette loi traduit le mouvement donné dans la définition historique. En choisissant les origines du temps et de l'angle au même instant, une rotation uniforme s'écrit θ = ωt. Sur la droite tournante, un mouvement uniformément accéléré fait varier la position selon un terme quadratique en temps ; elle devient donc quadratique en θ. Pour obtenir exactement la forme sans terme linéaire, la vitesse du point le long de la droite doit être nulle à cet instant commun. Dans un repère cartésien, chaque position se calcule par et .
La courbe, étudiée par Fermat en 1636, peut aussi apparaître comme la roulette produite par une parabole roulant sur une spirale d'Archimède. Elle est en outre un cas particulier de la courbe isochrone de Varignon. Ces énoncés rattachent la même courbe à des cadres différents ; ils ne rendent pas interchangeables les noms de toutes les courbes citées.
Un exemple, pas à pas
Traçons trois positions d'une spirale de Galilée. Données :
a = 1 unité ;
b = 1 unité par radian carré ;
θ prend successivement les valeurs 0, 1 et 2 radians.
a = 1 unité ;
b = 1 unité par radian carré ;
θ prend successivement les valeurs 0, 1 et 2 radians.
1. À θ = 0 radian, . Le point cartésien est donc exactement (1 ; 0).
2. À θ = 1 radian, . Les coordonnées sont environ (1,081 ; 1,683).
3. À θ = 2 radians, . Les coordonnées sont environ (−2,081 ; 4,546).
Le rayon passe donc de 1 à 2 puis à 5 unités : des angles également espacés ne produisent pas des écarts radiaux égaux. Pour contrôler chaque conversion, le calcul redonne ρ, à l'arrondi près pour les deux points décimaux.
En pratique
Pour tracer la courbe, on choisit a et b, puis on échantillonne des angles. Chaque valeur de ρ est convertie en coordonnées cartésiennes. Ce calcul point par point est préférable à un dessin à main levée dès que les distances doivent être comparées.
Pour reconnaître le modèle mécanique, on observe deux évolutions simultanées : la droite doit tourner uniformément et le point doit s'y déplacer avec une accélération uniforme. Si l'une de ces évolutions change de loi, l'équation quadratique en θ n'est plus garantie.
Dans une construction par roulement, la même courbe peut être suivie comme une roulette d'une parabole sur une spirale d'Archimède. Cette construction géométrique est adaptée lorsque le contact et le point entraîné importent davantage que le calcul polaire.
À ne pas confondre
La spirale d'Archimède intervient dans une construction de la spirale de Galilée, mais elle n'est pas la trajectoire obtenue. Dans la description par roulette, la parabole roule sur la première et le point suivi décrit la seconde : le rôle de support ou de trajectoire tranche la confusion.
La courbe isochrone de Varignon désigne un cadre plus général dont la spirale de Galilée est un cas particulier. La seule mention d'une courbe isochrone ne suffit donc pas à conclure que son équation est .
Limites et pièges
Si b = 0, la coordonnée ρ ne varie plus avec θ. Le tracé n'a alors plus de croissance spiralée : il devient un cercle de rayon |a| lorsque a ≠ 0, et se réduit au pôle lorsque a = 0. Il faut traiter ce cas dégénéré séparément.
Une coordonnée radiale négative reste possible si les paramètres ne sont pas supposés positifs. En coordonnées polaires, elle place le point dans la direction opposée à celle indiquée par θ. Il faut conserver le signe de ρ lors de la conversion cartésienne, au lieu de remplacer ρ par sa valeur absolue.
Lorsque b ≠ 0 et que −a/b est positif ou nul, la courbe atteint le pôle aux angles réels qui vérifient . Cela inclut θ = 0 lorsque a = 0. Ce passage par ρ = 0 constitue un cas charnière ; il ne doit pas être confondu avec une interruption du tracé.
Deux angles séparés de 2π indiquent la même direction, mais l'équation leur associe généralement des rayons différents. Réduire θ modulo 2π avant de calculer ρ efface donc les tours successifs. Il faut évaluer d'abord la loi quadratique avec l'angle complet.
Pour aller plus loin
La spirale d'Archimède précise le rôle de la courbe support dans la construction par roulement citée ici.
La parabole donne accès à l'autre courbe engagée dans cette construction de la roulette.
La courbe isochrone situe la spirale de Galilée dans le prolongement plus général mentionné par Varignon.
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