limaçon de Pascal

Imaginez un cercle passant par un point fixe O. Choisissez sur ce cercle un point P distinct de O, puis prolongez la droite OP. À partir de P, marquez la même longueur des deux côtés : les points obtenus dessinent peu à peu un limaçon de Pascal, la construction au point O étant complétée par continuité.

Avec un diamètre de 4 cm et un décalage de 2 cm, le tracé forme une petite boucle intérieure. Modifier l’une de ces deux longueurs transforme la silhouette : la boucle peut se refermer en pointe, disparaître ou laisser place à un contour arrondi.

Le limaçon de Pascal est une courbe plane, découverte et étudiée aux XVIe et XVIIe siècles. C’est la conchoïde d’un cercle par rapport à un point O situé sur ce cercle. Le cercle a pour diamètre OA une longueur positive notée a. Pour chaque point P du cercle distinct de O, on place sur la droite OP deux points M et M′ situés à la distance constante b de P, de part et d’autre de P ; pour P = O, la construction est complétée par continuité. L’ensemble des points M et M′ forme le limaçon.

Dans un repère polaire d’origine O dont l’axe initial est OA, l’angle est noté θ et la coordonnée radiale orientée est notée ρ. Une branche décrit toute la courbe lorsque θ parcourt un tour complet :Dans le repère cartésien associé, tout point de la courbe vérifie :Réciproquement, cette équation décrit la courbe, sauf qu’elle contient aussi le point O lorsque b > a.

La comparaison de b avec a commande la forme. Si 0 < b < a, la courbe possède une boucle intérieure. Si b = a, les deux passages à l’origine fusionnent en un point de rebroussement : c’est la cardioïde. Si b > a, la boucle disparaît ; le contour reste creusé pour a < b < 2a, puis devient convexe à partir de b = 2a.

On rencontre le limaçon de Pascal dans l’étude des courbes planes classiques, des conchoïdes et des tracés en coordonnées polaires. Sa silhouette est fermée, symétrique par rapport à l’axe OA et marquée par un grand lobe tourné vers A. Selon les paramètres, le côté proche de O montre une boucle, une pointe, un creux ou un bord arrondi.

Ces marqueurs indiquent comment une distance constante b ajoutée au rayon orienté d’un cercle de diamètre a déforme ce cercle. Le dessin porte donc une information précise : la forme visible traduit le rapport entre les deux longueurs de construction.

La grandeur à lire est la coordonnée radiale orientée ρ, mesurée depuis O sur la droite d’angle θ. La convention polaire autorise une valeur négative : le point se place alors sur la demi-droite opposée, à la distance |ρ| de O.

1. Repérez l’origine O et l’axe OA, qui fixe l’angle θ = 0. 2. Lisez a comme le diamètre du cercle de départ et b comme le décalage constant.

3. Pour un angle choisi, calculez d’abord a cos θ, puis ajoutez b. 4. Placez le point avec la valeur et le signe obtenus ; un tour complet de θ suffit pour parcourir la courbe.

L’œil peut prendre la petite boucle pour un second contour indépendant. Elle appartient pourtant au même tracé : lorsque ρ s’annule puis devient négatif, le point passe par O et repart sur la demi-droite opposée. Le bon réflexe est donc de suivre le signe de ρ, pas seulement la distance apparente à l’origine.

Prenons le cercle de diamètre a = 4 cm et le décalage b = 2 cm. L’origine polaire est O, l’axe initial est OA et l’angle θ parcourt de 0 à 2π. La courbe est donc donnée par :

1. Dans la direction de A, θ = 0 et cos 0 = 1. On obtient ρ = 4 × 1 + 2 = 6 cm : c’est le point le plus éloigné de O sur cet axe.

2. Pour θ = π/2, le cosinus vaut 0. La coordonnée radiale vaut alors ρ = 2 cm.

3. Les passages par O vérifient ρ = 0, donc cos θ = −1/2. Sur un tour, cela donne θ = 2π/3 et θ = 4π/3. Entre ces deux angles, ρ est négatif : la courbe trace sa boucle intérieure.

Le contrôle est double : la symétrie des deux angles autour de π correspond à la symétrie du tracé par rapport à OA, et b < a confirme la présence de la boucle.

Pour construire la courbe à la règle et au compas, on choisit plusieurs points P sur le cercle, puis on reporte la longueur b des deux côtés de P sur chaque droite OP. Davantage de points améliore le tracé ; l’équation polaire est préférable lorsqu’on veut des coordonnées précises.

Pour tracer la courbe avec un logiciel, on entre ρ = a cos θ + b et on fait varier θ sur un tour complet. Le mode polaire est préférable au mode cartésien dès que l’on veut suivre le signe de ρ et repérer les passages par O.

Pour reconnaître rapidement la famille de formes, on compare b à a. Le critère 0 < b < a annonce une boucle, b = a une cardioïde et b > a l’absence de boucle ; le cas dégénéré b = 0 redonne le cercle de départ. Il faut encore comparer b à 2a pour décider si le contour sans boucle est creusé ou convexe.

Une conchoïde quelconque. Une conchoïde s’obtient en reportant une distance constante depuis les intersections de droites issues d’un pôle avec une courbe de départ. Le limaçon de Pascal est le cas où cette courbe de départ est un cercle passant par le pôle O.

Une cardioïde. Toutes les cardioïdes de cette construction sont des limaçons de Pascal, mais tous les limaçons ne sont pas des cardioïdes. Le test est b = a : l’égalité produit une pointe en O, tandis que b ≠ a donne une boucle ou un contour sans pointe.

Le seuil b = a. Les deux passages distincts par O se confondent et la boucle devient un point de rebroussement. Il faut alors nommer la cardioïde, plutôt que parler encore de boucle intérieure.

L’absence de boucle ne garantit pas la convexité. Lorsque a < b < 2a, le bord proche de O reste creusé. La courbe devient convexe seulement pour b ≥ 2a ; comparer uniquement b à a ne suffit donc pas à qualifier tout le contour.

Une valeur négative de ρ n’est pas une distance négative. Elle inverse la demi-droite sur laquelle le point est placé. Remplacer ρ par |ρ| supprimerait ou déplacerait la boucle et ne tracerait plus le même limaçon.

Les paramètres nuls sont dégénérés. Si b = 0, l’équation polaire redonne le cercle de diamètre OA. Si a = 0, la courbe polaire est le cercle de centre O et de rayon b ; pour b > 0, l’équation cartésienne donnée plus haut contient en plus le point O. Ces cas perdent le mécanisme à deux longueurs qui produit les formes usuelles.

La fiche conchoïde replace le limaçon dans la construction générale obtenue en reportant une distance constante depuis un pôle.

La fiche cardioïde développe le cas charnière b = a, lorsque la boucle se referme en un point de rebroussement.

La fiche coordonnées polaires précise la lecture de l’angle, du rayon orienté et des valeurs négatives de ρ.