conchoïde

Imaginez un point fixe A et un point M d'une courbe, distinct de A, puis tracez la droite passant par A et M. À partir de M, reportez toujours la même longueur dans les deux sens sur cette droite. Les deux points obtenus appartiennent à la conchoïde.

Par exemple, si A est l'origine, M a pour coordonnées (4, 3) et la longueur reportée vaut 2, alors AM vaut 5. Les deux nouveaux points restent sur la droite AM, à une distance exactement égale à 2 de M. Quand M se déplace, ils engendrent deux séries de points de la conchoïde.

Une conchoïde dépend de trois données : une courbe de référence C, un point fixe A nommé pôle et une longueur constante positive d nommée module. Pour chaque point M de C distinct de A, on considère la droite AM. Les points de la conchoïde situés sur cette droite sont les deux points P₊ et P₋ placés à la distance d de M, de part et d'autre de M.

Le vecteur unitaire u dirigé de A vers M vaut $u=\frac{\overrightarrow{AM}}{AM}u=\backslash frac\{\backslash overrightarrow\{AM\}\}\{AM\}$. La construction s'écrit alors $P_{+}=M+du\text{et}{P}_{-}=M-duP\_\{+\}=M+d\; u\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; P\_\{-\}=M-d\; u$. Cette écriture impose M ≠ A. Lorsque M parcourt C, l'ensemble des points obtenus forme la conchoïde ; les signes plus et moins décrivent deux lieux de points, dont la séparation en branches dépend de la courbe C, du pôle A et du module d.

Si C est une droite à laquelle le pôle A n'appartient pas, on obtient la conchoïde de Nicomède, employée dans l'Antiquité pour la trisection de l'angle et la duplication du cube. Si C est un cercle et si le pôle A appartient à ce cercle, la conchoïde obtenue est un limaçon de Pascal. La nature de la courbe de référence et la position du pôle font donc partie de la définition, pas seulement le module d.

On construit deux points de la conchoïde de Nicomède.
Données : le pôle est A = (0, 0) ; la courbe de référence est la droite x = 4 ; le module vaut d = 2 ; on choisit M = (4, 3) sur cette droite.

1. Calculer la distance entre A et M : $AM=\sqrt{4^2+3^2}=5AM=\backslash sqrt\{4^2+3^2\}=5$.

2. Former le vecteur unitaire de A vers M : $u=(\frac{4}{5},\frac{3}{5})u=\backslash left(\backslash frac\{4\}\{5\},\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash right)$.

3. Reporter la longueur 2 dans les deux sens à partir de M : $P_{+}=M+2u=(\frac{28}{5},\frac{21}{5})P\_\{+\}=M+2u=\backslash left(\backslash frac\{28\}\{5\},\backslash frac\{21\}\{5\}\backslash right)$ et $P_{-}=M-2u=(\frac{12}{5},\frac{9}{5})P\_\{-\}=M-2u=\backslash left(\backslash frac\{12\}\{5\},\backslash frac\{9\}\{5\}\backslash right)$. La construction place bien les quatre points sur une même droite.

Le résultat est P₊ = (5,6 ; 4,2) et P₋ = (2,4 ; 1,8). Pour contrôler, soustrayez les coordonnées de M : dans les deux cas, la norme du déplacement vaut $\sqrt{{\left(\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2}=2\backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{8\}\{5\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{6\}\{5\}\backslash right)^2\}=2$, soit exactement le module annoncé.

Pour construire quelques points à la règle et au compas, choisissez M sur la courbe C, tracez la droite AM, puis tracez le cercle de centre M et de rayon d. Ses intersections avec la droite AM donnent P₊ et P₋ : elles sont distinctes si d > 0 et se confondent en M si d = 0. Un calcul coordonné est préférable lorsque les positions doivent être exactes.

Pour tracer la courbe, recommencez la construction avec plusieurs positions de M et suivez séparément les points portant le même signe, sans raccorder à travers une position où M = A. Un logiciel de géométrie dynamique devient utile quand on veut déplacer M ; il faut alors vérifier que la distance MP reste égale au module.

Pour choisir le bon modèle, observez d'abord la courbe de référence. Une droite qui ne passe pas par le pôle conduit à la conchoïde de Nicomède. Un cercle passant par le pôle conduit au limaçon de Pascal. Si la distance imposée est mesurée perpendiculairement à C, il faut employer une courbe parallèle plutôt qu'une conchoïde.

Courbe parallèle. Sur un arc suffisamment régulier, une parallèle à distance d se construit suivant la normale à la courbe de départ. Une conchoïde reporte d sur la droite reliant le pôle A au point M. Dans l'exemple, les abscisses 2,4 et 5,6 ne sont pas les abscisses 2 et 6 des deux parallèles à x = 4.

Cercle de centre A. Sur ce cercle, c'est la distance AP qui serait constante. Pour la conchoïde, c'est MP qui vaut d. Dans l'exemple, AP₋ vaut 3 et AP₊ vaut 7, tandis que les deux distances à M valent 2.

Limaçon de Pascal. Ce nom n'est pas un synonyme de toute conchoïde. Il désigne le cas où la courbe de référence est un cercle et où le pôle appartient à ce cercle. Une droite de référence donne au contraire la conchoïde de Nicomède.

Le point M coïncide avec le pôle. La droite AM n'a alors aucune direction déterminée : la formule utilisant le vecteur unitaire n'est pas définie. Il faut exclure ce point de la construction directe et, si nécessaire, étudier séparément les points limites de la courbe obtenue.

Le paramètre vaut zéro. Si l'on étend la définition au cas dégénéré d = 0, les deux points construits coïncident avec M et le lieu se réduit à la courbe de référence. Pour obtenir deux points distincts de part et d'autre de M, la condition charnière est d > 0.

Un point construit atteint le pôle. Si AM = d, alors P₋ = A pour l'orientation de A vers M. Ce n'est pas une troisième branche ni une panne de la construction ; c'est une position particulière à conserver dans le lieu géométrique.

Le dessin ne prouve pas la distance. Des points visuellement alignés peuvent ne pas satisfaire MP = d. Il faut contrôler à la fois l'alignement de A, M et P et la longueur MP ; vérifier un seul de ces deux critères ne suffit pas.

Le limaçon de Pascal montre ce que devient la construction lorsque la référence est un cercle passant par le pôle.

La trisection d'un angle situe l'un des problèmes antiques pour lesquels la conchoïde de Nicomède a été employée.

La duplication du cube présente l'autre problème classique associé dans la source à cette courbe.