trisectrice de Maclaurin

Imaginez deux droites qui tournent autour de deux points fixes. La première tourne d'un angle θ, la seconde de trois fois cet angle ; leur point de rencontre se déplace alors en traçant une courbe en forme de boucle. Cette courbe est la trisectrice de Maclaurin.

Son intérêt est géométrique : elle donne un moyen de partager graphiquement un angle en trois parts égales. Elle possède un point double, où deux branches passent par le même point, et une asymptote qui indique comment la courbe s'éloigne.

La trisectrice de Maclaurin est une courbe algébrique du troisième degré. On la dit circulaire pour signaler son lien avec les propriétés du cercle, et unicursale parce qu'un seul paramètre suffit à la parcourir. Dans sa construction classique, deux droites tournent autour de deux pôles O et S, avec OS=2a : la première fait un angle θ avec OS et la seconde un angle 3θ avec OS. Leur point d'intersection M parcourt la courbe. Ici, a désigne une longueur positive qui fixe l'échelle de la figure.

Dans la construction par droites tournantes, prenez O=(0,0) et S=(2a,0). Une droite passant par O fait un angle θ avec OS ; une seconde droite passant par S fait un angle 3θ avec OS. Leur intersection M décrit la trisectrice. En posant t=tan(θ), on obtient x=a(3-t^2)/(1+t^2) et y=tx, puis, par élimination de t, son équation s'écrit : Le point O est un point double. La courbe possède aussi l'asymptote verticale x=-a, située à la distance a de O et parallèle à la direction perpendiculaire à OS.

Pour utiliser la courbe dans la trisection, placez O au sommet de l'angle et S sur l'un de ses côtés. Tracez depuis S la direction donnée, qui fait un angle 3θ avec OS, puis repérez son intersection M avec la trisectrice. La droite OM donne alors la direction formant l'angle θ avec OS : la courbe transforme le partage d'un angle en une intersection de droites.

Pour utiliser la propriété de trisection avec deux droites tournantes, considérons un angle de 60° dont un côté est OS, avec O=(0,0) et S=(2a,0). La direction donnée à 60° est tracée depuis S ; nous cherchons son intersection M avec la trisectrice.

Étape 1 — Depuis S, tracez la demi-droite qui forme l'angle donné de 60° avec OS et qui est orientée vers le demi-plan y>0, avec x>2a. Sur cette branche, repérez l'intersection M avec la trisectrice : dans le repère O=(0,0), S=(2a,0), c'est le point de la courbe situé sur cette demi-droite. La direction OM est alors celle que la construction permet de lire.

Étape 2 — La droite SM fait trois fois l'angle de la droite OM avec OS. La lecture de la direction OM donne donc : $\mathrm{\angle }SOM={60}^{\circ }÷3={20}^{\circ }\backslash angle\; SOM=60^\backslash circ\backslash div\; 3=20^\backslash circ$

Étape 3 — La direction OM forme donc 20° avec OS. Le contrôle, effectué après la lecture sur la courbe, consiste à vérifier que 20° + 20° + 20° = 60° ; les trois parts ont bien la même mesure.

La construction géométrique fournit d'abord M à partir de la direction donnée ; la direction OM se lit ensuite comme le tiers de l'angle, et la division de 60° par 3 en constitue le contrôle.

En géométrie classique, pour partager un angle, placez O à son sommet et S sur un côté. Tracez depuis S la direction de l'angle donné, repérez son intersection M avec la trisectrice, puis lisez la direction OM comme le tiers recherché.

Pour étudier la courbe, on peut suivre le point M d'intersection lorsque la droite autour de O change de direction et que celle autour de S tourne trois fois plus vite. Ce suivi rend concret le lien entre les deux droites tournantes et la courbe.

Pour un calcul analytique, on utilise l'équation cartésienne dans le repère choisi. La construction géométrique reste nécessaire pour interpréter les points et les distances ; l'équation ne remplace pas le choix des pôles O et S ni celui des deux directions tournantes.

La trisectrice de Maclaurin ne doit pas être confondue avec une trisectrice d'angle quelconque. Une trisectrice d'angle désigne une construction ou une courbe ayant pour objectif de partager un angle ; la trisectrice de Maclaurin est une courbe précise, avec un point double, une asymptote et plusieurs définitions équivalentes. Le critère qui tranche est son équation ou l'une des constructions décrites ici.

Elle ne se confond pas non plus avec une hyperbole. Le critère testable est le degré de l'équation cartésienne : la trisectrice est une cubique, alors que l'hyperbole relève du second degré. La relation d'inversion avec une hyperbole est une propriété de la courbe, pas une identité entre les deux figures.

Le point double O est un cas particulier du tracé : deux branches de la courbe y passent, mais cela ne signifie pas que toute la courbe est parcourue deux fois. Si une construction produit seulement O, il faut vérifier le paramétrage ou la position de la droite variable au lieu de conclure que la courbe est réduite à ce point.

L'asymptote est la droite verticale x=-a, parallèle à la direction perpendiculaire à OS. Elle ne doit pas être confondue avec une droite de construction : son rôle est de décrire le comportement de la courbe lorsque x s'approche de -a.

La trisection graphique ne doit pas être interprétée comme une méthode générale de construction à la règle et au compas. La propriété concerne la trisectrice de Maclaurin et une construction géométrique qui l'utilise ; elle ne supprime pas les restrictions propres aux instruments employés.

L'article Les triangles dont une trisectrice est médiane prolonge la réflexion sur les trisectrices d'angle et montre une configuration géométrique où une trisectrice intervient comme médiane.

Le glossaire hyperbole permet d'examiner la courbe du second degré dont la trisectrice de Maclaurin est l'inverse par rapport à l'un de ses sommets.