Colimaçon

Imaginez un point qui tourne autour d’une origine. Pour chaque angle $\theta \backslash theta$ compris entre 0° et 360°, sa distance orientée r suit la loi $r=a+b\cos (\theta )r=a+b\backslash cos(\backslash theta)$, où a et b sont deux paramètres positifs. Le trajet fermé obtenu ressemble à une coquille arrondie : c’est un limaçon de Pascal.

Avec les valeurs 1 et 2 choisies pour ses deux paramètres, la distance devient même négative dans certaines directions. Le point se place alors dans la direction opposée et dessine une petite boucle à l’intérieur de la grande.

Le limaçon de Pascal est une courbe plane fermée décrite en coordonnées polaires. L’angle, noté $\theta \backslash theta$, fixe une direction depuis le pôle. Le rayon polaire, noté r, donne la distance orientée sur cette direction. Deux paramètres réels positifs, a et b, commandent la forme : $r=a+b\cos (\theta )r=a+b\backslash cos(\backslash theta)$. Un rayon négatif place le point dans la direction opposée ; il ne signifie donc pas que le tracé s’arrête.

Le rapport a/b suffit à classer les formes lorsque a et b sont positifs. Si a est inférieur à b, des rayons négatifs produisent une boucle intérieure. Si a est égal à b, le rayon s’annule dans une seule direction et la courbe est une cardioïde, avec un point de rebroussement au pôle. Si b est inférieur à a mais que a reste inférieur à 2b, la courbe n’a plus de boucle mais conserve un creux. Pour a supérieur ou égal à 2b, elle est convexe.

La courbe peut aussi être étudiée par des constructions d’enveloppes : on considère une famille de cercles passant par un point fixe, tandis que leurs centres parcourent un cercle. Le lien avec l’inversion exige en revanche de préciser la transformation employée ; l’inversion géométrique usuelle ne transforme pas directement un cercle quelconque en limaçon.

Traçons un limaçon à boucle. Les données sont le paramètre a égal à 1, le paramètre b égal à 2, l’angle $\theta \backslash theta$ mesuré depuis l’axe horizontal et le rayon polaire r.

1. Remplaçons les paramètres dans l’équation : $r=1+2\cos (\theta )r=1+2\backslash cos(\backslash theta)$. Pour un angle nul, le rayon vaut exactement 3 ; le point le plus à droite a donc pour coordonnées cartésiennes (3 ; 0).

2. Pour un angle de 90°, le cosinus vaut 0. Le rayon vaut alors exactement 1 et le point obtenu est (0 ; 1). Par symétrie par rapport à l’axe horizontal, l’angle de 270° donne (0 ; −1).

3. Cherchons les passages au pôle en imposant un rayon nul : $1+2\cos (\theta )=01+2\backslash cos(\backslash theta)=0$. Sur un tour, les solutions sont 120° et 240°. La portion parcourue entre ces deux angles forme la boucle intérieure.

4. À 180°, le rayon vaut −1. Le rayon négatif inverse la direction : le point cartésien est (1 ; 0), le point de la boucle le plus éloigné du pôle, et non (−1 ; 0).

Le contrôle est refaisable sans dessin : l’équation est inchangée quand l’angle est remplacé par son opposé, donc les points calculés doivent être symétriques par rapport à l’axe horizontal. La figure rassemble ces valeurs exactes et fait apparaître les deux passages par le pôle.

Pour esquisser la courbe à la main, on calcule d’abord les rayons dans les directions 0°, 90°, 180° et 270°, puis les angles qui annulent le rayon. Ce choix est plus parlant qu’un nuage de valeurs régulières, car il repère directement l’axe de symétrie et une éventuelle boucle.

Pour prévoir la forme avant tout tracé, on compare a à b, puis à 2b. Cette classification est préférable à l’inspection d’une image lorsque l’échelle risque de masquer un petit creux ou une boucle très resserrée.

Dans un logiciel qui gère mal les rayons polaires négatifs, on passe aux coordonnées cartésiennes paramétrées. Pour chaque angle, on calcule l’abscisse x et l’ordonnée y par $x=(a+b\cos (\theta ))\cos (\theta ),y=(a+b\cos (\theta ))\sin (\theta )x=(a+b\backslash cos(\backslash theta))\backslash cos(\backslash theta),\backslash quad\; y=(a+b\backslash cos(\backslash theta))\backslash sin(\backslash theta)$. Cette alternative conserve correctement la boucle.

Le limaçon de Pascal n’est pas une spirale. Son rayon dépend du cosinus de l’angle et le tracé se referme après un tour. Dans une spirale d’Archimède, le rayon augmente ou diminue avec l’angle : les tours successifs ne se superposent pas.

Le mot courant « colimaçon » peut décrire toute forme enroulée, comme un escalier ou une coquille. Le critère mathématique est plus strict : une courbe n’est un limaçon de Pascal que si ses points satisfont l’équation polaire avec deux paramètres constants.

Le seuil a = b est un cas charnière, pas une simple variation visuelle. Le rayon s’annule pour l’angle de 180° et la boucle se réduit à un point de rebroussement : la courbe obtenue est la cardioïde.

Entre b et 2b, le paramètre a donne un limaçon sans boucle mais non convexe. Classer toutes les formes sans boucle comme convexes ferait disparaître ce cas creusé. Il faut comparer a aux deux seuils, pas seulement à b.

Un rayon polaire négatif n’est ni une distance ordinaire ni une valeur à supprimer. Le logiciel ou le calcul doit reporter sa valeur absolue dans la direction opposée ; sinon, toute la boucle intérieure disparaît du tracé.

Le terme « inversion » est ambigu sans transformation précisée. L’inversion géométrique usuelle par rapport à un cercle envoie un cercle ne passant pas par son centre sur un autre cercle, et un cercle passant par ce centre sur une droite. Pour relier un limaçon à une inversion, il faut donc expliciter l’objet inversé et le centre choisi.

Les coordonnées polaires montrent comment une direction et un rayon orienté localisent un point, y compris lorsque le rayon est négatif.

La cardioïde détaille le cas charnière a = b, lorsque la boucle du limaçon devient un point de rebroussement.

La spirale d’Archimède fournit un contraste utile : son rayon varie avec l’angle sans produire la courbe fermée et périodique du limaçon.