GéométrieNotion · Glossaire
cardioïde
Une cardioïde est une courbe plane engendrée par un point d'un cercle mobile qui roule sans glisser sur un cercle fixe de même rayon. Elle appartient à la famille des épicycloïdes. En coordonnées paramétriques, elle peut s'écrire : x(t) = cos(t) − sin²(t) et y(t) = sin(t)cos(t) + sin(t). En coordonnées polaires, son équation est r = a(1 + cos θ), où a est un paramètre d'échelle et le rayon commun des deux cercles vaut a/2. Sa forme rappelle celle d'un cœur, ce qui lui a valu son nom, donné par Castillon en 1741.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la cardioïde au roulement de deux cercles de même rayon.
- Lire son équation polaire et calculer quatre points remarquables.
- Distinguer la cardioïde de l’épicycloïde générale et de la cycloïde.
- Repérer les conventions d’échelle et de repère qui modifient l’écriture.
En clair
Imaginez un cercle qui roule autour d’un autre cercle de même taille. Suivez un point marqué sur son bord : sa trajectoire dessine une boucle arrondie terminée par une pointe. Cette courbe est une cardioïde.
Son nom évoque sa silhouette en cœur. La pointe apparaît quand le point marqué touche le cercle fixe. La symétrie de la construction se retrouve dans le tracé.
Définition
Une cardioïde est une courbe plane de la famille des épicycloïdes. Elle est engendrée par la trajectoire d’un point fixé sur un cercle mobile lorsque celui-ci roule sans glisser à l’extérieur d’un cercle fixe de même rayon. La courbe possède un axe de symétrie et une cuspide, c’est-à-dire une pointe où ses deux branches se rejoignent. Castillon lui a donné son nom en 1741, en référence à sa forme de cœur.
Dans un repère polaire, le rayon polaire r mesure la distance à l’origine, l’angle θ indique la direction et le nombre positif a règle l’échelle. Une écriture usuelle est . Avec cette normalisation, le rayon des deux cercles roulants vaut a/2. Le plus grand rayon polaire vaut 2a, tandis que la cuspide correspond à r = 0.
Dans un repère translaté, une paramétrisation unitaire est . En posant X = x + 1 et Y = y, on retrouve .
Un exemple, pas à pas
Traçons la cardioïde polaire de paramètre d’échelle a = 2. Les données sont l’équation et les quatre angles θ = 0, π/2, π et 3π/2. Pour placer un point, on calcule d’abord r, puis on reporte cette distance dans la direction θ.
1. Pour θ = 0, cos θ = 1, donc r = 2 × (1 + 1) = 4. Le point est à quatre unités sur l’axe horizontal positif.
2. Pour θ = π/2, cos θ = 0, donc r = 2. Le point est à deux unités au-dessus de l’origine.
3. Pour θ = π, cos θ = −1, donc r = 0. Ce point est la cuspide située à l’origine.
4. Pour θ = 3π/2, cos θ = 0, donc r = 2. Le point est à deux unités sous l’origine.
Le tracé passe donc par (4 ; 0), (0 ; 2), (0 ; 0) et (0 ; −2). Les deux points verticaux confirment la symétrie par rapport à l’axe horizontal, et r reste toujours compris entre 0 et 4.
En pratique
Pour tracer une cardioïde à partir de son équation polaire, on choisit quelques angles, on calcule le rayon correspondant, puis on place les points. Un tracé paramétrique devient préférable si le logiciel demande directement des coordonnées x et y.
Pour reconnaître la courbe, on vérifie ensemble la boucle unique, la cuspide et l’axe de symétrie. Une simple silhouette en cœur ne suffit pas : le rayon doit suivre la variation donnée par l’équation.
Pour reconstruire son origine géométrique, on fait rouler sans glisser un cercle autour d’un cercle de même rayon et on suit un point de sa circonférence. Si le cercle roule plutôt sur une droite, la courbe obtenue n’est pas une cardioïde.
À ne pas confondre
Épicycloïde. Ce nom désigne toute une famille de courbes engendrées par un cercle roulant à l’extérieur d’un autre cercle. La cardioïde est le cas précis où les deux rayons sont égaux ; si les rayons diffèrent, l’épicycloïde obtenue n’est pas une cardioïde.
Cycloïde. Une cycloïde suit un point d’un cercle qui roule sur une droite, et non autour d’un cercle. Le support du roulement tranche immédiatement : une droite donne une cycloïde, deux cercles de même rayon donnent une cardioïde.
Limites et pièges
La pointe n’est pas un défaut de tracé. Dans l’équation , l’angle θ = π donne exactement r = 0. Les deux branches atteignent alors l’origine et forment la cuspide ; il ne faut pas lisser ce point.
Le paramètre dépend de la convention. Dans la forme polaire retenue, a est un paramètre d’échelle et le rayon des cercles générateurs vaut a/2. Présenter simultanément a comme ce rayon commun crée un facteur 2 ; il faut annoncer la normalisation avant de comparer deux formules.
Le repère peut masquer l’identité de la courbe. La paramétrisation x(t), y(t) est décalée d’une unité horizontalement par rapport à la forme polaire unitaire. Pour les comparer, il faut appliquer X = x + 1 et conserver Y = y, plutôt que confronter directement les coordonnées.
Le cas a = 0 est dégénéré. Tous les rayons polaires deviennent nuls et la courbe se réduit à l’origine. Une cardioïde non dégénérée exige donc a > 0.
Pour aller plus loin
épicycloïde — Situez la cardioïde dans la famille des courbes produites par le roulement extérieur d’un cercle.
coordonnées polaires — Reliez un angle et une distance à l’origine pour lire puis tracer l’équation de la cardioïde.
cycloïde — Comparez le roulement sur une droite au roulement autour d’un cercle et distinguez les deux trajectoires.
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