hypocycloïde de Steiner

Imaginez un petit cercle qui roule à l’intérieur d’un cercle trois fois plus grand. Un point marqué sur le bord du petit cercle dessine une boucle fermée à trois pointes. À chaque pointe, le tracé change brusquement de direction : c’est un point de rebroussement, aussi nommé cuspide.

Cette courbe est l’hypocycloïde de Steiner. On l’appelle aussi deltoïde, car sa silhouette évoque la lettre grecque delta, ou tricuspide, parce qu’elle possède exactement trois cuspides régulièrement espacées.

L’hypocycloïde de Steiner est le lieu géométrique d’un point M fixé sur un cercle mobile qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle fixe. Si r désigne le rayon du cercle mobile et R celui du cercle fixe, la condition caractéristique est R = 3r. Ce rapport exact produit une courbe fermée avec trois cuspides régulièrement espacées. La deltoïde et la tricuspide sont deux autres noms de cette même courbe.

Dans la normalisation r = 1 et R = 3, le paramètre réel t repère la position pendant le roulement. Les coordonnées du point M sont :

Le roulement sans glissement relie la rotation du petit cercle à son déplacement ; sans cette condition, le même point ne suit pas nécessairement cette équation. La courbe intervient aussi en géométrie du triangle : pour un triangle inscrit dans un cercle, l’enveloppe de ses droites de Simson est une deltoïde de Steiner. Son centre coïncide alors avec le centre du cercle des neuf points, aussi appelé cercle d’Euler. Euler étudia la courbe en 1745, puis Jakob Steiner en 1856.

Prenons le modèle normalisé : le cercle mobile a pour rayon r = 1, le cercle fixe a pour rayon R = 3, et le paramètre est t. La figure associe à ces données la courbe complète et la position du cercle mobile pour t = π/3.

1. Pour t = 0, on obtient x = 2 × 1 + 1 = 3 et y = 0. Le point (3 ; 0) est une première cuspide.

2. Pour t = π/3, les valeurs trigonométriques donnent :Le point courant est donc (1/2 ; √3/2).

3. Pour t = 2π/3, le calcul donne x = −3/2 et y = 3√3/2 : c’est la cuspide suivante. La troisième s’obtient de façon symétrique.

4. Le contrôle est refaisable : la distance de (−3/2 ; 3√3/2) à l’origine vaut √(9/4 + 27/4) = 3. Comme pour (3 ; 0), cette cuspide se trouve bien sur le cercle fixe de rayon 3.

Pour tracer la courbe mécaniquement, on choisit un cercle fixe de rayon triple, puis on marque un point sur le bord du petit cercle. Le roulement doit rester intérieur et sans glissement ; le point marqué fournit alors la deltoïde.

Pour la tracer par le calcul, on fait varier le paramètre t dans les deux coordonnées de l’équation normalisée. Cette voie est préférable au dessin à main levée lorsque l’on veut vérifier l’emplacement exact des trois cuspides.

En géométrie du triangle, on considère les droites de Simson d’un triangle inscrit lorsque l’on veut faire apparaître leur enveloppe. La courbe enveloppe est alors une deltoïde de Steiner, centrée au centre du cercle d’Euler.

Une hypocycloïde quelconque. Le mot hypocycloïde désigne la famille obtenue par roulement intérieur. Le cas de Steiner exige précisément R = 3r : si le rapport des rayons n’est pas 3, la courbe n’est pas la tricuspide de Steiner.

Une droite de Simson. Pour un triangle inscrit, une position donne une droite. La deltoïde de Steiner est l’enveloppe de toute la famille de ces droites, et non l’une d’elles : une droite isolée reste rectiligne, tandis que l’enveloppe présente trois cuspides.

Rapport des rayons différent de 3. Même si le petit cercle roule à l’intérieur du grand, le tracé n’est plus l’hypocycloïde de Steiner dès que R ≠ 3r. Il faut alors le décrire comme une autre hypocycloïde et déterminer ses propriétés avec son propre rapport.

Glissement pendant le roulement. Si le cercle mobile glisse, le lien entre déplacement et rotation est rompu. Le symptôme est qu’une substitution dans l’équation paramétrique ne retrouve pas les points observés ; il faut rétablir le roulement sans glissement ou changer de modèle.

Échelle oubliée. Les coefficients 2 et 1 de l’équation publiée correspondent à r = 1 et R = 3. Pour un cercle mobile de rayon r non nul, toutes les coordonnées sont multipliées par r ; conserver les mêmes nombres changerait l’échelle attendue.

Orientation du paramétrage. Une symétrie du dessin ou un changement de sens peut modifier les signes dans une autre écriture paramétrique sans modifier la courbe géométrique. Il faut comparer l’ensemble des points et la convention choisie, pas seulement les signes d’une formule.

La fiche hypocycloïde replace la deltoïde de Steiner dans la famille des courbes engendrées par un cercle roulant à l’intérieur d’un autre.

La fiche droite de Simson approfondit l’objet dont la famille forme, par enveloppe, la deltoïde associée à un triangle inscrit.