hypocycloïde

Imaginez une petite roue qui roule contre la face intérieure d'un grand cercle. Un point marqué sur le bord de la petite roue avance, tourne et revient périodiquement vers le bord du grand cercle. Sa trace forme une hypocycloïde.

Le nombre et la forme des pointes dépendent de la taille relative des deux cercles. Avec un grand cercle quatre fois plus large que la petite roue, la trace est une astroïde à quatre pointes.

Une hypocycloïde est une courbe plane engendrée par un point M solidaire d'un cercle mobile qui roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle fixe. Le rayon du cercle fixe est noté R, celui du cercle mobile r, et la distance entre M et le centre mobile d. L'hypocycloïde au sens strict impose d = r : le point traceur appartient alors au cercle mobile.

Pour un angle de roulement t, le centre mobile étant initialement sur le demi-axe horizontal positif et M sur le rayon horizontal positif issu de ce centre, les coordonnées du point sont :

Si d < r, la courbe est raccourcie, aussi appelée hypotrochoïde contractée. Si d > r, elle est allongée, aussi appelée hypotrochoïde prolongée. Lorsque le rapport R/r est rationnel, la courbe se ferme après un nombre fini de branches. Lorsque ce rapport est irrationnel et d > 0, la trajectoire ne se ferme pas et devient dense dans la couronne centrée sur le centre fixe, de rayons |R-r-d| et R-r+d ; pour d = 0, elle se réduit au cercle de rayon R-r. Les rapports R/r égaux à 3 et 4 donnent respectivement la deltoïde et l'astroïde ; le rapport 2 produit le cas dégénéré d'un segment parcouru comme un diamètre.

Prenons un cercle fixe de rayon R = 4 unités et un cercle mobile de rayon r = 1 unité. Le point M est sur le bord mobile, donc d = 1 unité. Au départ, M est au point (4 ; 0).

1. Le centre du petit cercle reste à R − r = 3 unités du centre fixe.

2. Le rapport des rayons vaut R/r = 4. La trajectoire se ferme et possède quatre pointes : c'est une astroïde.

3. En remplaçant R, r et d dans le paramétrage, on obtient : $x(t)=3\cos t+\cos 3tx(t)=3\backslash cos\; t+\backslash cos\; 3t$ et $y(t)=3\sin t-\sin 3ty(t)=3\backslash sin\; t-\backslash sin\; 3t$.

4. Pour t = π/4, les deux coordonnées valent √2 unités. Le point obtenu est donc M = (√2 ; √2).

Le contrôle se refait aux angles t = 0, π/2, π et 3π/2 : les points sont (4 ; 0), (0 ; 4), (−4 ; 0) et (0 ; −4). Ils donnent bien les quatre pointes visibles de l'astroïde.

Pour construire la courbe, on choisit les rayons R et r, puis la position du point M sur le cercle mobile. Le roulement intérieur fixe alors toute la trajectoire.

Pour reconnaître une forme fermée, on examine d'abord le rapport R/r. Un rapport entier fournit immédiatement des cas remarquables : 3 pour la deltoïde, 4 pour l'astroïde et 2 pour le segment dégénéré.

Pour modifier la forme sans changer les deux cercles, on déplace seulement le point traceur. Il faut employer l'hypotrochoïde contractée si d < r, et l'hypotrochoïde prolongée si d > r.

Hypocycloïde et hypotrochoïde. Le critère est la distance d du point traceur au centre mobile. Si d = r, M se trouve sur le cercle et la courbe est une hypocycloïde au sens strict. Si d < r ou d > r, la trace est respectivement une hypotrochoïde contractée ou prolongée.

Rapport irrationnel. Il ne faut pas chercher une dernière branche qui fermerait la figure. Si R/r est irrationnel, la trajectoire ne revient pas exactement à son état initial et devient dense dans une couronne circulaire.

Rapport égal à 2. La courbe perd son aspect à pointes et dégénère en un segment : un diamètre du cercle fixe. Le segment est le résultat correct, pas un tracé incomplet.

Point hors du bord mobile. Une distance d différente de r change la famille nommée. Avant d'annoncer une hypocycloïde stricte, il faut vérifier que M appartient bien au cercle mobile ; sinon, on précise hypotrochoïde contractée ou prolongée.

La géométrie des courbes prolonge l'étude en montrant quelles propriétés permettent de décrire et de comparer des courbes au-delà de leur seule apparence.