épicycloïde

Imaginez un petit cercle qui roule sur le bord extérieur d'un grand cercle, sans glisser. Un point marqué sur le bord du petit cercle avance, tourne autour de son centre et dessine une courbe : l'épicycloïde. Le tracé d'une néphroïde rend ce double mouvement visible lorsque le grand rayon vaut deux fois le petit. La courbe forme alors deux pointes, atteintes quand le point marqué touche momentanément le cercle fixe.

Une épicycloïde est la trajectoire d'un point M attaché à un cercle mobile de rayon r. Ce cercle roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon R, les deux disques restant extérieurs. Pour l'épicycloïde proprement dite, la distance d entre M et le centre mobile est égale à r : le point M appartient donc au bord du cercle mobile.

On place le centre du cercle fixe à l'origine et l'on note t l'angle qui repère le centre mobile. Les coordonnées du point M s'écrivent alors :

Cette écriture suppose r strictement positif. Si d est inférieur à r, la courbe est dite raccourcie ; s'il est supérieur à r, elle est dite allongée. Ces variantes appartiennent à la famille des épitrochoïdes. Le rapport R/r gouverne la forme : la valeur 1 donne une cardioïde et la valeur 2 une néphroïde. Un rapport rationnel produit une courbe qui se referme après un nombre fini de tours.

Prenons un cercle fixe de rayon R égal à 2 et un cercle mobile de rayon r égal à 1. Le point M est placé sur le bord mobile, donc sa distance d au centre mobile vaut 1. L'angle t part de 0 et augmente dans le sens trigonométrique.

1. Le rapport des rayons vaut R/r = 2/1 = 2. La courbe attendue est donc une néphroïde.

2. La somme des rayons vaut R + r = 3 et son quotient par le rayon mobile vaut (R + r)/r = 3.

3. Les coordonnées deviennent :

4. Pour t = 0, on obtient M = (2 ; 0). Pour t = π, on obtient M = (−2 ; 0). Ces deux positions sont les deux pointes de la néphroïde. Le contrôle consiste à remplacer t par 2π : on retrouve M = (2 ; 0), donc la trajectoire est revenue à son point de départ après un tour du centre mobile.

Pour construire la courbe, on choisit les deux rayons, puis on fait varier l'angle t dans les coordonnées paramétriques. Cette méthode est préférable à un tracé à main levée lorsque les pointes et la fermeture doivent être placées exactement.

Pour reconnaître un cas remarquable, on calcule d'abord le rapport R/r. La valeur 1 oriente vers la cardioïde ; la valeur 2, comme dans l'exemple, vers la néphroïde. Pour une autre valeur, on conserve le nom d'épicycloïde au lieu d'attribuer l'un de ces deux noms particuliers.

Pour décider si le tracé finit par se refermer, on examine le même rapport. Lorsqu'il est rationnel, un parcours suffisamment long ramène exactement la courbe sur son point de départ ; une simple ressemblance visuelle ne suffit pas à établir cette fermeture.

Épicycloïde et épitrochoïde. Le critère décisif est la distance d du point traceur au centre du cercle mobile. Si d = r, le point est sur le bord et trace l'épicycloïde proprement dite. Si d < r ou d > r, il trace respectivement une épitrochoïde raccourcie ou allongée.

Épicycloïde, cardioïde et néphroïde. Ces deux derniers noms ne décrivent pas un autre mécanisme de roulement. Ils signalent des rapports de rayons précis : R/r = 1 pour la cardioïde et R/r = 2 pour la néphroïde. Un rapport égal à 3 ne reçoit donc aucun de ces deux noms.

Le point traceur quitte le bord. Dès que d diffère de r, le tracé n'est plus l'épicycloïde proprement dite. Si d < r, il faut parler de forme raccourcie ; si d > r, de forme allongée. Le symptôme est que M se trouve visiblement à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle mobile.

Une fermeture apparente peut tromper. La garantie de fermeture après un nombre fini de tours repose sur un rapport R/r rationnel. Si ce rapport est irrationnel, les angles du mouvement ne se retrouvent pas simultanément après un nombre fini de tours ; il ne faut donc pas conclure à partir d'un tracé numérique presque superposé.

Le paramétrage exige un vrai cercle mobile. La formule contient une division par r et suppose donc r > 0. Avec r = 0, le quotient R/r n'est pas défini : le modèle du cercle roulant et ses cas R/r = 1 ou 2 ne s'appliquent pas.

cardioïde — Examine le cas particulier où le cercle fixe et le cercle mobile ont le même rayon.

néphroïde — Prolonge l'exemple conducteur fondé sur un rayon fixe deux fois plus grand que le rayon mobile.

cycloïde — Permet de comparer l'épicycloïde à une autre courbe engendrée par le roulement d'un cercle.