AnalyseNotion · Glossaire
astroïde
L'astroïde est une hypocycloïde à quatre points de rebroussement, engendrée par un point M d'un cercle de rayon a/4 roulant intérieurement sans glisser sur un cercle fixe de rayon a. Elle admet pour équation cartésienne x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3), où les puissances deux tiers sont prises au sens réel (racine cubique réelle, puis carré), et pour équation paramétrique x = a·cos³(t), y = a·sin³(t). Sa forme est celle d'une étoile à quatre branches symétriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la forme à quatre pointes au roulement d'un cercle de rayon quatre fois plus petit.
- Passer du paramétrage à l'équation cartésienne et interpréter les symboles.
- Calculer trois points exacts pour a = 4 et contrôler l'un d'eux.
- Distinguer l'astroïde de l'astéroïde, d'une hypocycloïde quelconque et de la cycloïde.
- Repérer les difficultés aux rebroussements et pour les coordonnées négatives.
En clair
Imaginez un petit cercle qui roule à l'intérieur d'un cercle quatre fois plus grand. Un point marqué sur le bord du petit cercle dessine une courbe fermée. Le tracé se creuse entre quatre pointes et ressemble à une étoile aux branches arrondies : c'est une astroïde.
Les quatre pointes apparaissent lorsque le point marqué rencontre successivement la droite, le haut, la gauche et le bas du grand cercle. Le roulement sans glissement relie donc une construction géométrique précise à une courbe que l'on peut aussi tracer par ses coordonnées.
Définition
Une astroïde est le cas particulier d'une hypocycloïde obtenu lorsqu'un cercle mobile, de rayon égal au quart de celui du cercle fixe, roule à l'intérieur de ce dernier sans glisser. Le point générateur se trouve sur la circonférence du cercle mobile. Si le rayon du cercle fixe est le nombre réel a, avec a > 0, celui du cercle mobile vaut a/4.
Dans un repère centré sur le cercle fixe, le paramètre réel t donne les coordonnées du point par . Quand t parcourt un intervalle de longueur 2π, le point décrit toute la courbe. L'élimination de t conduit à l'équation cartésienne , les puissances deux tiers étant prises au sens réel. Le tracé pour a = 4 rend visibles les quatre rebroussements et la symétrie par rapport aux deux axes.
Les valeurs t = 0, π/2, π et 3π/2 donnent respectivement les quatre pointes (a, 0), (0, a), (−a, 0) et (0, −a). Entre ces points, la courbe reste dans le carré défini par −a ≤ x ≤ a et −a ≤ y ≤ a. La construction par roulement et les deux équations décrivent le même objet.
Un exemple, pas à pas
Prenons a = 4 : le cercle fixe a pour rayon 4 et le cercle roulant pour rayon 1. Nous allons calculer trois points du premier quart de l'astroïde, pour les paramètres t = 0, t = π/6 et t = π/4, puis contrôler le dernier avec l'équation cartésienne.
1. Pour t = 0, cos(0) = 1 et sin(0) = 0. Les coordonnées sont donc x = 4 et y = 0 : on obtient la pointe droite (4, 0).
2. Pour t = π/6, cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2. Ainsi, et y = 4(1/2)3 = 1/2. Le point exact est (3√3/2, 1/2).
3. Pour t = π/4, le cosinus et le sinus valent tous deux √2/2. Les deux coordonnées valent . Le point est donc (√2, √2).
4. Contrôlons ce résultat : (√2)2/3 = 21/3, donc la somme des deux termes vaut 2·21/3 = 24/3 = 42/3. Le point vérifie bien l'équation cartésienne de l'astroïde pour a = 4.
En pratique
Pour construire la courbe mécaniquement, on fait rouler un cercle de rayon 1 à l'intérieur d'un cercle de rayon 4 et l'on suit un point de sa circonférence. Si le point n'est pas sur cette circonférence, il faut employer la famille plus générale des hypotrochoïdes.
Pour tracer l'astroïde dans un logiciel, la forme paramétrique est la plus directe : on fait varier t de 0 à 2π et l'on calcule simultanément x = 4·cos³(t) et y = 4·sin³(t). L'équation cartésienne est préférable pour tester si un point donné appartient à la courbe.
Pour exploiter les symétries, il suffit de calculer l'arc du premier quadrant, puis de le réfléchir par rapport aux deux axes. Ce procédé conserve exactement les quatre pointes et évite de recalculer séparément les trois autres arcs.
À ne pas confondre
Une astroïde n'est pas un astéroïde. L'astroïde est une courbe plane à quatre rebroussements ; l'astéroïde est un corps céleste. L'accent et le contexte mathématique tranchent immédiatement.
Une astroïde n'est pas n'importe quelle hypocycloïde. Elle correspond précisément au rapport 1/4 entre le rayon du cercle roulant et celui du cercle fixe. Un autre rapport produit une hypocycloïde d'une autre forme et, lorsqu'il convient, d'un autre nombre de rebroussements.
Elle se distingue aussi de la cycloïde usuelle : dans la construction de l'astroïde, le petit cercle roule à l'intérieur d'un cercle fixe. Pour une cycloïde, le cercle roule le long d'une droite.
Limites et pièges
Le paramètre d'échelle doit satisfaire a > 0 pour décrire deux cercles de rayons a et a/4. Si l'on pose a = 0 dans les équations, la courbe dégénère en l'unique point (0, 0) : il n'existe plus de cercle roulant non dégénéré.
Dans l'équation cartésienne, x2/3 et y2/3 se lisent avec les racines cubiques réelles. Pour une coordonnée négative, on prend d'abord sa racine cubique puis on élève au carré ; écarter les points des quadrants gauche ou inférieur serait une erreur.
Le paramétrage est régulier entre les pointes, mais ses deux dérivées s'annulent pour t multiple de π/2. Ce symptôme signale précisément un rebroussement ; une méthode qui exige un vecteur tangent non nul doit traiter ces quatre valeurs à part.
Enfin, le point générateur doit être situé sur le bord du cercle mobile. Placé strictement à l'intérieur, il ne passe plus par les quatre pointes du cercle fixe : le tracé est une hypotrochoïde arrondie, pas l'astroïde définie ici.
Pour aller plus loin
L'article hypocycloïde replace l'astroïde dans la famille des courbes engendrées par un cercle roulant à l'intérieur d'un autre.
La fiche cycloïde permet de comparer ce roulement intérieur avec le tracé obtenu lorsqu'un cercle roule le long d'une droite.
La notion de courbe algébrique éclaire le rôle d'une équation cartésienne dans la description d'un ensemble de points du plan.
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