courbe algébrique

Tracez les points dont l'abscisse est un nombre x et dont l'ordonnée vaut x² : ils dessinent une parabole. Cette courbe est algébrique, car tous ses points, et eux seuls, rendent nul le polynôme x² − y.

L'idée essentielle est donc celle d'un filtre : on choisit deux coordonnées, on les place dans une expression polynomiale, puis on conserve les couples qui donnent zéro. Une droite, un cercle ou une parabole répondent à ce principe.

Dans le plan réel, on considère un polynôme non constant P à deux variables réelles. Dans le cadre retenu ici, l'ensemble des couples de coordonnées (x, y) qui satisfont le critère $P(x,y)=0P(x,y)=0$ est une courbe algébrique s'il est non vide et de dimension 1. Il s'agit d'une équation implicite : elle relie les deux coordonnées sans imposer que y soit donné par une unique valeur en fonction de x.

Le degré total de P est le plus grand total d'exposants présent dans l'un de ses monômes. Ainsi, x² − y est de degré 2 et définit la parabole y = x². Un polynôme de degré 1 donne une droite ; un polynôme de degré 2 donne une conique, éventuellement dégénérée. Les cubiques proviennent d'un polynôme de degré 3.

Pour une courbe algébrique réelle non vide de dimension 1, on appelle ici degré de la courbe le plus petit degré total d'un polynôme réel ayant exactement cette courbe pour ensemble de zéros. On choisit donc une équation définissante réduite minimale : on retire les facteurs répétés ainsi que tout facteur partout non nul ou dont la suppression ne change pas l'ensemble des zéros. Ainsi, (x² − y)² = 0 a exactement les mêmes points que x² − y = 0. Dans l'espace à trois coordonnées, une seule équation polynomiale décrit en général une surface ; une courbe spatiale demande habituellement plusieurs équations indépendantes.

On rencontre une courbe algébrique dans un repère muni de deux axes, avec une relation polynomiale entre les coordonnées. Plusieurs indices la signalent : l'équation ne contient que des sommes et des produits de puissances entières positives ou nulles ; un membre est ramené à zéro ; le dessin peut avoir plusieurs branches ; certaines droites verticales peuvent le couper plusieurs fois.

Le support porte une information d'appartenance : chaque point du plan appartient ou non à l'ensemble selon le résultat de la substitution dans le polynôme. L'allure seule ne suffit pas pour reconnaître la nature algébrique de la courbe ; c'est l'existence d'une équation polynomiale qui tranche.

La grandeur à lire est la valeur du polynôme P au point choisi ; son annulation décide de l'appartenance à la courbe. Dans le repère usuel, l'axe horizontal porte x, l'axe vertical porte y et leur intersection est l'origine.

1. Relevez les coordonnées du point.
2. Remplacez x et y par ces nombres dans P.
3. Effectuez les puissances, puis les produits et les sommes.
4. Si le résultat vaut exactement zéro, le point appartient à la courbe ; sinon, il n'y appartient pas.

Un dessin peut faire croire qu'un point touche la courbe, surtout avec un trait épais ou une échelle serrée. Le bon réflexe consiste à tester ses coordonnées dans l'équation. Pour des coordonnées lues approximativement sur un graphique, le résultat proche de zéro ne constitue qu'un indice : seule la relation exacte conclut.

On étudie le polynôme P défini par $P(x,y)=x^2-yP(x,y)=x^2-y$. Les données sont les deux coordonnées x et y, le seuil exact 0 et quatre points candidats : A(−2, 4), O(0, 0), B(2, 4) et C(2, 3).

1. Le terme x² a pour degré total 2 et le terme −y a pour degré 1. Le polynôme, donc sa courbe réduite, est de degré 2.

2. Pour A, on calcule P(−2, 4) = (−2)² − 4 = 0. Pour O, P(0, 0) = 0² − 0 = 0. Pour B, P(2, 4) = 2² − 4 = 0. Ces trois points appartiennent à la courbe.

3. Pour C, le calcul donne P(2, 3) = 2² − 3 = 1. Le résultat n'étant pas nul, C n'appartient pas à la courbe.

4. L'équation x² − y = 0 se réécrit y = x² : la courbe est une parabole. Le tracé calculé matérialise les trois appartenances et le point rejeté. Pour contrôler, remplacez encore x par −2, 0 puis 2 : les ordonnées obtenues sont respectivement 4, 0 et 4.

Pour vérifier qu'un point appartient à une courbe donnée par une équation, on substitue ses coordonnées dans le polynôme. Une lecture graphique suffit pour une estimation ; la substitution est préférable dès qu'une conclusion exacte est attendue.

Pour classer une équation du plan, on la ramène sous la forme P(x, y) = 0 et on repère le degré total le plus élevé. Le degré distingue immédiatement les droites, les coniques et les cubiques, mais il ne suffit pas à déterminer toute la forme du tracé.

Pour tracer une relation implicite, on peut calculer des points qui annulent P. Quand l'équation s'isole sous la forme y = f(x), un tracé de fonction est commode ; si plusieurs ordonnées correspondent au même x, il faut conserver la forme implicite.

Une courbe algébrique n'est pas toujours le graphe d'une fonction. Le cercle x² + y² − 1 = 0 est algébrique, mais la droite verticale x = 0 le coupe aux points (0, 1) et (0, −1) : une même abscisse aurait deux images.

Une courbe transcendante ne peut pas être définie par une équation polynomiale non nulle. Le graphe y = sin(x), dont l'équation emploie une fonction trigonométrique, est le cas qui tranche ; une apparence lisse ou familière ne rend pas une courbe algébrique.

Une équation n'est pas unique. Multiplier P par un facteur qui ne s'annule jamais, ou remplacer P par P², conserve le même ensemble de zéros tout en changeant le degré écrit. Pour attribuer un degré à la courbe, on retient le degré total minimal parmi les polynômes réels qui ont exactement le même ensemble de zéros ; l'équation choisie est donc réduite, sans facteur répété ni facteur superflu.

Les polynômes constants forment des cas charnières : P = 0 donne tout le plan, tandis qu'un P constant non nul ne donne aucun point. Mais la non-constance ne suffit pas : x² + y² = 0 donne seulement l'origine, et x² + y² + 1 = 0 ne donne aucun point réel. Dans la convention retenue ici, l'ensemble des zéros doit donc être non vide et de dimension 1.

Le degré ne garantit ni une seule branche ni un tracé sans singularité. L'équation xy = 0, de degré 2, réunit les deux axes et possède un croisement à l'origine. Il faut factoriser P et examiner les points communs des composantes plutôt que d'imaginer une conique régulière.

Dans l'espace, une équation comme x² + y² + z² − 1 = 0 décrit une surface, non une courbe. Pour isoler une courbe spatiale, on cherche en général l'intersection de plusieurs surfaces polynomiales et on vérifie que l'ensemble obtenu a bien une dimension.

L'article Curva ex machina prolonge cette première lecture en montrant comment des courbes algébriques interviennent dans une construction mathématique plus élaborée.