AnalysePersonnage · Glossaire
Trident de Newton
Le trident de Newton est une courbe algébrique du plan d'équation xy = ax^3 + bx^2 + cx + d. Pour x non nul, cette relation permet de calculer y et de lire un tracé qui s'approche d'une parabole. Son nom évoque traditionnellement des branches allongées, sans fournir un comptage universel des composantes de la courbe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l'équation générale du trident de Newton et isoler l'ordonnée lorsque x est non nul.
- Reproduire le tracé de xy = x³ + 1 à partir de valeurs contrôlables.
- Identifier l'asymptote verticale et l'asymptote parabolique.
- Repérer les changements de nature lorsque d = 0 ou a = 0.
- Distinguer les bras visibles des composantes affines de la courbe.
En clair
Dans un repère, tracez les points qui vérifient xy = x3 + 1. Aucun point ne se place sur l'axe vertical, car x = 0 donnerait 0 = 1. À proximité de cet axe, la courbe monte ou descend très vite. Loin de l'axe, elle épouse de mieux en mieux la parabole y = x2.
Cette allure aux longs bras explique l'image du trident. Le trident de Newton désigne plus généralement la famille obtenue en remplaçant x3 + 1 par un polynôme cubique à quatre coefficients.
Définition
Le trident de Newton est la courbe algébrique du plan formée par les points de coordonnées x et y qui satisfont une relation cubique. Les paramètres a, b, c et d fixent un membre droit polynomial :
Le coefficient a doit être non nul pour que l'équation soit réellement de degré trois.
Pour toute abscisse x non nulle, la relation détermine une unique ordonnée :
La partie polynomiale a x2 + bx + c décrit une parabole. Lorsque |x| grandit, l'écart d/x tend vers zéro : cette parabole est donc une asymptote parabolique, et non une droite.
Si d est non nul, x = 0 ne fournit aucun point et la droite x = 0 est une asymptote verticale. Si d = 0, l'équation se factorise en x(y − ax2 − bx − c) = 0 : la courbe devient l'union de la droite x = 0 et d'une parabole. Ce cas réductible n'a plus l'allure générique associée au nom de trident.
Où on le rencontre
On rencontre le trident de Newton dans un repère cartésien, parmi les courbes définies par une équation en x et y. Quatre indices le signalent : le produit xy apparaît à gauche, le membre droit dépend seulement de x, son terme dominant est cubique et le tracé possède de longs bras qui s'approchent d'une parabole.
Cette écriture porte à la fois une information algébrique, le degré trois, et une information géométrique, la forme du tracé. Elle appartient à la classification systématique des courbes cubiques entreprise par Isaac Newton.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est l'ordonnée y associée à chaque abscisse x. 1. Vérifiez d'abord si x = 0 est permis en remplaçant x dans l'équation. 2. Pour x non nul, isolez y. 3. Calculez quelques points de part et d'autre de zéro. 4. Comparez enfin la courbe à la parabole y = ax2 + bx + c.
Le repère, son échelle et le signe de x doivent rester visibles. L'œil peut prendre les bras lointains pour des droites. Le bon réflexe consiste à soustraire l'expression parabolique : l'écart restant vaut d/x et tend vers zéro lorsque |x| tend vers l'infini.
Un exemple, pas à pas
Considérons xy = x3 + 1. Les données sont a = 1, b = 0, c = 0 et d = 1 ; on étudie les abscisses −2, −1, −0,5, 0, 0,5, 1 et 2.
1. À x = 0, l'équation donnerait 0 = 1. Il n'existe donc aucun point de la courbe sur l'axe vertical.
2. Pour x non nul, on obtient y = x2 + 1/x. Les ordonnées calculées sont 3,5 ; 0 ; −1,75 ; 2,25 ; 2 et 4,5 dans l'ordre des abscisses restantes.
3. Le point (−1 ; 0) contrôle le calcul, puisque (−1) × 0 = (−1)3 + 1 = 0. Le point (1 ; 2) le contrôle aussi : 1 × 2 = 13 + 1 = 2.
4. L'écart entre la courbe et la parabole y = x2 vaut exactement 1/x. Il est égal à 0,5 pour x = 2 et à −0,5 pour x = −2.
Le tracé obtenu possède une asymptote verticale x = 0 et une asymptote parabolique y = x2. Le contrôle se refait en remplaçant chaque couple (x ; y) dans l'équation initiale.
En pratique
Pour tracer un exemple à la main, on isole y puis on construit un tableau de valeurs séparé pour x négatif et x positif. Si d est non nul, cette séparation évite de relier artificiellement la courbe à travers x = 0.
Pour prévoir l'allure loin de l'origine, on compare y au trinôme ax2 + bx + c. Une simple asymptote droite ne convient pas lorsque a est non nul ; la parabole fournit alors la référence observable.
Pour étudier les cas dégénérés, on conserve l'équation implicite xy = ax3 + bx2 + cx + d. Cette forme révèle immédiatement la factorisation lorsque d = 0, alors que la formule divisée par x masquerait la droite entière x = 0.
À ne pas confondre
Une cubique quelconque. Toute cubique est définie par une équation de degré trois, mais elle n'a pas nécessairement la forme xy = ax3 + bx2 + cx + d. Par exemple, une équation où y apparaît au carré ne se réécrit pas automatiquement comme un trident de Newton.
Une asymptote. L'asymptote est une courbe de référence dont le trident se rapproche ; elle n'est pas le trident lui-même. Dans xy = x3 + 1, x = 0 est une asymptote verticale et y = x2 une asymptote parabolique, tandis que les points calculés appartiennent au trident.
Limites et pièges
Le cas d = 0 change la nature du tracé. Le symptôme est que x = 0 vérifie alors l'équation pour toute valeur de y. Il faut factoriser avant de diviser par x, sous peine de perdre la composante droite x = 0.
Le cas a = 0 n'est plus cubique. Le terme de degré trois disparaît et le membre droit a au plus le degré deux. Il faut alors décrire la courbe obtenue selon son degré réel, sans lui attribuer automatiquement le comportement parabolique du trident générique.
Les « trois branches » décrivent une allure, pas un comptage universel des composantes connexes. Lorsque d est non nul, le graphe défini pour x < 0 et x > 0 possède deux domaines séparés. Il faut préciser si l'on parle de bras visibles, de composantes affines ou de branches au sens algébrique.
Une fenêtre de tracé peut cacher l'asymptote parabolique. Si l'échelle verticale est trop petite, les bras sortent rapidement du cadre et semblent rectilignes. Il faut élargir la fenêtre ou examiner exactement l'écart d/x.
Pour aller plus loin
La fiche cubique replace le trident parmi l'ensemble des courbes définies par une équation du troisième degré.
La fiche asymptote précise le sens de l'approche à l'infini, utile ici pour la droite x = 0 et la parabole de référence.
La fiche courbe algébrique élargit le point de vue aux ensembles de points définis par des équations polynomiales.
L'article Curva ex machina prolonge l'exploration des courbes algébriques au-delà de cet exemple historique.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres