Quartique piriforme

Imaginez une boucle qui part d'une pointe, s'arrondit, puis revient à cette même pointe. Son contour ressemble à une poire vue de profil. La pointe est un point de rebroussement : les deux arcs s'y rejoignent avec la même direction, au lieu de se croiser.

Cette silhouette n'est pas dessinée au jugé. Une équation de degré quatre fixe tous ses points, tandis que deux paramètres règlent ses proportions.

La quartique piriforme est une courbe algébrique plane fermée. Dans une convention usuelle, le paramètre a est strictement positif et fixe son étendue horizontale ; le paramètre b, lui aussi non nul, règle l'échelle verticale. Les coordonnées d'un point sont notées x et y. Elles vérifient :

Pour des coordonnées réelles, l'abscisse x reste comprise entre 0 et a. La courbe est symétrique par rapport à l'axe horizontal. L'origine est son point de rebroussement ; le second point de l'axe est (a, 0). L'équation est de degré quatre, d'où le mot quartique. La courbe est unicursale, c'est-à-dire qu'un paramétrage rationnel peut en parcourir les points ; sa courbe algébrique normalisée est de genre zéro. Le signe de b ne change pas l'ensemble des points, car seul son carré intervient.

Prenons la courbe normalisée avec les données suivantes :
• le paramètre horizontal vaut a = 1 ;
• le paramètre vertical vaut b = 1 ;
• l'abscisse testée vaut x = 1/2.

1. L'équation devient $y^2=x^3(1-x)y^2=x^3(1-x)$.
2. Pour x = 1/2, le membre de droite vaut (1/2)³ × (1 − 1/2) = 1/16.
3. L'égalité impose donc y² = 1/16.
4. Les deux ordonnées sont y = 1/4 et y = −1/4.

Les points (1/2, 1/4) et (1/2, −1/4) appartiennent donc à la courbe. Le contrôle est direct : dans les deux cas, y² et x³(1 − x) valent exactement 1/16. La figure montre aussi la symétrie des deux points par rapport à l'axe horizontal.

Pour tracer la courbe, on peut calculer ses deux ordonnées pour plusieurs abscisses entre 0 et a. Un paramétrage est préférable lorsque le logiciel gère mal les équations implicites.

Pour contrôler un point proposé, on remplace x et y dans les deux membres de l'équation. Le point appartient à la courbe si les valeurs obtenues sont égales.

Pour repérer la singularité, on observe le voisinage de l'origine à une échelle assez fine. Un tracé polygonal trop grossier peut faire prendre le rebroussement pour un angle ordinaire.

Avec une ellipse. Une ellipse est lisse en chacun de ses points, tandis que la quartique piriforme possède un rebroussement à l'origine. La pointe suffit à les distinguer.

Avec une parabole semi-cubique. La courbe d'équation $y^2=x^{3}y^2=x^3$ a aussi un rebroussement, mais elle n'est pas fermée. La quartique piriforme revient vers un second point de l'axe.

Avec une équation quartique. Le mot quartique désigne ici une courbe plane de degré quatre, pas une équation à une inconnue qu'il faudrait seulement résoudre.

Transformations de l'équation. La boucle en poire correspond à $b^2{y}^2=x^3(a-x)b^2y^2=x^3(a-x)$. Une transformation algébrique équivalente ne change pas la courbe. En revanche, diviser par (a − x) n'est équivalent que pour x ≠ a et écarte alors le point (a, 0). Remplacer l'équation par y²(a − x) = b²x³ n'est pas une telle transformation et définit une autre courbe, avec une asymptote en x = a.

Paramètres dégénés. La description suppose a > 0 et b ≠ 0. Si b = 0, l'équation se réduit à $x^3(a-x)=0x^3(a-x)=0$ et ne décrit plus la boucle.

Deux ordonnées. Pour 0 < x < a, une racine carrée positive ne donne que la moitié supérieure. Il faut aussi prendre sa valeur opposée pour obtenir toute la courbe.

La notion de courbe algébrique replace la quartique piriforme parmi les ensembles de points définis par une équation polynomiale.

Le point de rebroussement précise ce qui rend l'origine singulière et distingue une pointe d'un simple point lisse.

Une courbe unicursale explique pourquoi les points de cette quartique peuvent être parcourus au moyen d'un paramètre rationnel.