AnalyseNotion · Glossaire
point de rebroussement
Un point de rebroussement est un point singulier d’un arc paramétré où les deux demi-tangentes existent, ont la même droite support mais des sens opposés : la courbe arrive au point puis repart en sens inverse. On distingue deux espèces de points de rebroussement : si les deux branches sont situées de part et d’autre de la tangente au point singulier, il s’agit d’un point de rebroussement de première espèce ; si elles restent du même côté de la tangente, il est de seconde espèce. Le terme cuspidal est parfois employé comme synonyme, mais il est généralement réservé aux surfaces (du latin cuspis, signifiant pointe).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le demi-tour d’une courbe le long de sa tangente.
- Distinguer les rebroussements de première et de seconde espèce par la position des branches.
- Vérifier sur M(t) = (t² ; t³) les demi-tangentes opposées et la traversée de la tangente.
- Séparer un point de rebroussement d’un point anguleux et d’un point d’inflexion.
En clair
Imaginez une pointe tracée sans lever le crayon. La courbe arrive jusqu’à cette pointe, s’y arrête un instant, puis repart presque dans la direction d’où elle venait. Les deux branches touchent la même droite, mais leurs demi-tangentes pointent en sens opposés.
Ce demi-tour distingue le point de rebroussement d’un simple angle. Selon que les branches passent de part et d’autre de la tangente ou restent du même côté, le rebroussement est dit de première ou de seconde espèce.
Définition
Un point de rebroussement est un point singulier d’un arc paramétré où la courbe possède une tangente, mais inverse localement son sens de parcours. Les deux demi-tangentes obtenues en approchant le point par les deux côtés du paramètre sont colinéaires et de sens opposés. La courbe fait donc demi-tour le long d’une même droite tangente.
Soit M(t) un arc suffisamment dérivable et t0 le paramètre du point étudié. Un rebroussement apparaît souvent à un point stationnaire, où M′(t0) est le vecteur nul. On cherche alors le premier vecteur dérivé non nul pour obtenir la direction tangente, puis le premier vecteur dérivé qui ne lui est pas colinéaire pour situer les branches. L’annulation de M′ ne suffit cependant pas à conclure.
Dans la classification usuelle des arcs paramétrés, le rebroussement est de première espèce lorsque les deux branches sont de part et d’autre de la tangente : la courbe la traverse en faisant demi-tour. Il est de seconde espèce lorsque les deux branches restent du même côté. Une formulation fondée seulement sur la concavité ou les rayons de courbure exige des conventions supplémentaires et ne remplace pas ce test géométrique.
Un exemple, pas à pas
Étudions l’arc M défini, pour le paramètre réel t proche de 0, par . Les données sont M(0) = (0 ; 0), M′(t) = (2t ; 3t²), M″(0) = (2 ; 0) et M‴(0) = (0 ; 6).
1. La vitesse s’annule en 0 : M′(0) = (0 ; 0).
2. Le premier vecteur dérivé non nul est M″(0) = (2 ; 0) : la tangente en A = M(0) est l’axe horizontal y = 0.
3. Pour t < 0 puis t > 0, l’abscisse t² reste positive, tandis que l’ordonnée t³ change de signe. Les deux branches sont donc de part et d’autre de la tangente.
2. Le premier vecteur dérivé non nul est M″(0) = (2 ; 0) : la tangente en A = M(0) est l’axe horizontal y = 0.
3. Pour t < 0 puis t > 0, l’abscisse t² reste positive, tandis que l’ordonnée t³ change de signe. Les deux branches sont donc de part et d’autre de la tangente.
4. Quand t passe de valeurs négatives à des valeurs positives, le mouvement arrive vers A puis repart vers les abscisses positives : les demi-tangentes sont opposées.
5. La courbe fait demi-tour tout en traversant y = 0. A est donc un point de rebroussement de première espèce.
5. La courbe fait demi-tour tout en traversant y = 0. A est donc un point de rebroussement de première espèce.
Le contrôle se refait sans dériver : éliminer t donne avec x ≥ 0, l’équation d’une parabole semi-cubique dont la pointe est A.
En pratique
Pour étudier une courbe paramétrée, commencez par résoudre M′(t) = (0 ; 0). À chaque paramètre candidat, s’il existe un premier vecteur dérivé non nul à un ordre fini, utilisez-le pour déterminer la tangente, puis comparez le sens des deux demi-tangentes. Si tous les vecteurs dérivés s’annulent, étudiez directement le comportement asymptotique local des coordonnées. Cette étude locale est préférable à la seule lecture d’un tracé, dont l’échelle peut arrondir la pointe.
Pour déterminer l’espèce, placez ensuite les branches par rapport à la tangente. Si elles la traversent pendant le demi-tour, la première espèce s’applique ; si elles restent du même côté, retenez la seconde. Un développement limité des coordonnées est l’alternative fiable lorsque les signes ne se lisent pas directement.
Dans l’exemple M(t) = (t² ; t³), les signes de t² et t³ donnent immédiatement le verdict. Le tracé sert alors de contrôle : il doit montrer deux branches pour x ≥ 0, séparées par l’axe y = 0 et réunies en une pointe.
À ne pas confondre
Point de rebroussement et point anguleux. Au point anguleux, les deux demi-tangentes ne sont pas colinéaires : elles forment un angle non plat. Au rebroussement, elles appartiennent à la même droite et sont opposées. Le graphe de y = |x| a un angle en 0, tandis que y² = x³ a une pointe de rebroussement.
Point de rebroussement et point d’inflexion. Une inflexion change la position de la courbe par rapport à sa tangente sans inverser le sens de parcours. Dans l’exemple M(t) = (t² ; t³), l’abscisse repart vers les valeurs positives après t = 0 : ce demi-tour exclut une simple inflexion.
Limites et pièges
Une vitesse nulle ne prouve pas un rebroussement. Pour N(t) = (t³ ; 0), on a N′(0) = (0 ; 0), mais le point parcourt la droite de gauche à droite sans faire demi-tour. Il faut étudier les demi-tangentes et les premiers termes non nuls, pas seulement résoudre N′(t) = 0.
Une équation cartésienne peut masquer les branches. L’équation y² = x³ ne définit pas une unique fonction y de x au voisinage de 0 : elle réunit y = x3/2 et y = −x3/2 pour x ≥ 0. Le paramétrage M(t) = (t² ; t³) restitue leur ordre de parcours.
La classification par concavité est ambiguë hors d’un cadre fixé. Les deux branches peuvent être décrites séparément comme graphes, avec des concavités différentes. Pour nommer l’espèce sans dépendre de cette convention, vérifiez si les branches traversent la tangente : traversée pour la première espèce, même côté pour la seconde.
Le vocabulaire varie selon le contexte. « Cuspidal » peut être rencontré comme synonyme de « en pointe », mais il est aussi employé pour des singularités de surfaces. Pour une courbe plane, précisez le critère géométrique au lieu de déduire la nature du point du seul mot.
Pour aller plus loin
Demi-tangente — Pour formaliser les deux directions limites qui caractérisent un point singulier.
point anguleux — Pour comparer une cassure à demi-tangentes non colinéaires avec un demi-tour tangent.
parabole semi-cubique — Pour retrouver la courbe y² = x³ utilisée dans l’exemple calculé.
Point singulier — Pour replacer le rebroussement parmi les pertes de régularité possibles d’une courbe.
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