point anguleux

Tracez la courbe de la valeur absolue : elle descend en ligne droite jusqu'à l'origine, puis remonte aussitôt. Au point de jonction, le crayon ne suit pas une direction unique. Il arrive avec une pente de −1 et repart avec une pente de 1. Cette cassure visible est un point anguleux.

La courbe reste pourtant d'un seul tenant. Le défaut porte sur la direction de la tangente, pas sur la continuité du tracé.

Un point anguleux est un point d'une courbe plane où deux demi-tangentes existent, une de chaque côté du point, sans être colinéaires. Elles ne sont donc ni confondues ni portées par la même droite avec des sens opposés. Cette différence de direction produit un angle dans le tracé.

Pour le graphe d'une fonction numérique f, soit a l'abscisse étudiée. La dérivée à gauche et la dérivée à droite sont les limites des taux de variation prises respectivement pour des accroissements négatifs et positifs. Le critère s'écrit : Si ces deux limites existent, sont finies et sont distinctes, le point du graphe d'abscisse a est anguleux. La fonction n'y est pas dérivable, car une dérivée unique exigerait leur égalité. En revanche, l'existence de ces deux dérivées finies assure ici la continuité au point considéré.

Considérons la fonction f qui associe à tout nombre réel x sa valeur absolue. Les données sont les suivantes : f(x) = |x|, le point étudié a pour abscisse a = 0 et f(0) = 0. Le graphe correspondant permet de visualiser les deux directions obtenues.

1. Pour un accroissement h négatif, |h| = −h. Le taux de variation vaut donc exactement (−h − 0)/h = −1.
2. La limite de ce taux lorsque h tend vers 0 par valeurs négatives donne f'₋(0) = −1.
3. Pour un accroissement h positif, |h| = h. Le taux vaut exactement (h − 0)/h = 1.
4. La limite à droite donne f'₊(0) = 1.

Les deux nombres −1 et 1 sont distincts : l'origine est donc un point anguleux du graphe, et f n'y est pas dérivable. Pour contrôler le résultat, on peut reprendre un accroissement de chaque côté, par exemple −0,1 puis 0,1 : les deux taux restent respectivement −1 et 1.

Sur un graphe, une cassure attire l'œil, mais elle ne suffit pas comme preuve. On calcule les deux pentes unilatérales. Si elles sont finies et différentes, on conclut à un point anguleux ; si elles coïncident, on cherche plutôt une tangente unique.

Pour une fonction définie par morceaux, on étudie en priorité chaque abscisse où la formule change. On vérifie d'abord que les deux morceaux se raccordent au même point, puis on compare leurs dérivées latérales. Un saut de valeurs conduit à une discontinuité, pas à un point anguleux.

Dans un modèle comportant une valeur absolue, le sommet du V est un candidat naturel. Le calcul des taux latéraux décide entre une véritable cassure et un raccordement lisse que l'échelle du dessin pourrait masquer.

Point de rebroussement. Dans un point de rebroussement, les deux demi-tangentes sont colinéaires et de sens opposé. Dans un point anguleux, elles ne sont pas colinéaires. Le sens relatif des demi-tangentes tranche donc entre les deux notions.

Discontinuité. Une courbe qui saute entre deux hauteurs n'a pas de point commun où former un angle. Par exemple, si les valeurs à gauche tendent vers 0 et celles à droite vers 1, le raccord manque : il s'agit d'une discontinuité, non d'un point anguleux.

Une apparence dépendante de l'échelle. Un tracé très aplati peut cacher un angle, tandis qu'un échantillonnage grossier peut créer une fausse cassure. Il faut comparer les taux de variation à gauche et à droite au lieu de conclure sur la seule image.

Une pente latérale infinie. Le critère des dérivées finies distinctes ne s'applique plus si un taux diverge. Le symptôme est une branche qui devient verticale. Il faut alors étudier directement les demi-tangentes de la courbe, et non annoncer deux dérivées réelles.

Le seuil d'égalité. Deux dérivées latérales finies exactement égales ne forment pas un point anguleux, même si le dessin semble pointu. Dans l'exemple de la valeur absolue, le cas charnière serait −1 = 1, ce qui est faux ; leur différence exacte vaut 2.

La notion de demi-tangente précise la direction suivie par une seule branche lorsqu'elle atteint le point étudié.

La fonction valeur absolue fournit le modèle élémentaire d'une fonction continue dont les dérivées latérales diffèrent à l'origine.

Le point de rebroussement prolonge l'étude en montrant le cas où les demi-tangentes sont colinéaires mais opposées.