AnalyseNotion · Glossaire
taux d'accroissement
Le taux d'accroissement d'une fonction numérique f entre deux valeurs distinctes a et b de la variable mesure la variation de la fonction par unité de variation de la variable. Il est défini par le rapport : (f(b) − f(a)) / (b − a). Ce rapport représente la pente de la droite sécante au graphe de f passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)). Si f est définie sur un voisinage de a, lorsque b tend vers a avec b ≠ a, ce rapport tend, si la limite existe, vers la dérivée de f en a, qui est la pente de la tangente au graphe en ce point. Le taux d'accroissement est donc un outil central pour introduire la notion de dérivée et pour quantifier la rapidité de variation d'une fonction sur un intervalle donné.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le taux d’accroissement comme un rapport de variations et une pente de sécante.
- Calculer et contrôler le taux d’accroissement de la fonction carrée entre 1 et 3.
- Distinguer le taux d’accroissement d’un pourcentage et de la dérivée.
- Reconnaître les cas où le dénominateur ou la limite empêchent le calcul.
En clair
Sur le graphe d’une fonction, choisissez deux points. La valeur de la fonction monte ou descend pendant que la variable avance. Le taux d’accroissement compare ces deux changements : il indique combien la fonction varie, en moyenne, pour une unité de variable parcourue.
Géométriquement, ce nombre est la pente de la droite qui relie les deux points, appelée sécante. En lisant le graphe de gauche à droite, un taux positif signale une hausse ; un taux négatif, une baisse ; un taux nul, des valeurs identiques aux deux extrémités.
Définition
Soit une fonction numérique nommée f, définie sur un voisinage de a, et soit b un nombre distinct de a dans ce voisinage. Son taux d’accroissement entre a et b est le quotient de l’accroissement de la fonction par celui de la variable :
Le numérateur f(b) − f(a) mesure la variation des valeurs de la fonction. Le dénominateur b − a mesure la variation de la variable ; il ne peut pas être nul. Le quotient est la pente de la sécante qui passe par les points (a, f(a)) et (b, f(b)). Il s’agit d’un rapport de variations, et non d’un pourcentage sauf si le contexte définit expressément une variation relative en pourcentage. Si, lorsque b tend vers a avec b ≠ a dans le voisinage où f est définie, ce quotient admet une limite finie, cette limite est la dérivée de f au point a, notée f′(a), et les sécantes se rapprochent alors de la tangente de pente f′(a).
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction qui associe à chaque nombre son carré. Notons x le nombre choisi et f(x) son carré. Nous cherchons le taux d’accroissement de cette fonction entre 1 et 3. Le calcul porte sur les deux points du graphe qui correspondent à ces valeurs.
Données.
La fonction est f(x) = x2.
La première valeur est a = 1.
La seconde valeur est b = 3.
La fonction est f(x) = x2.
La première valeur est a = 1.
La seconde valeur est b = 3.
1. Calculez la première image : f(1) = 12 = 1.
2. Calculez la seconde image : f(3) = 32 = 9.
3. Les deux accroissements valent f(3) − f(1) = 9 − 1 = 8 et 3 − 1 = 2.
4. Formez leur quotient : .
Le taux d’accroissement est donc de 4 unités de valeur de f par unité de x : entre 1 et 3, la fonction augmente en moyenne de 4 lorsque x augmente de 1. Pour contrôler, la droite de pente 4 partant de (1, 1) atteint bien (3, 9), car 1 + 4 × 2 = 9. Le graphe associé rend visibles la courbe, les deux points et leur sécante.
En pratique
Pour une position donnée en fonction du temps, le taux d’accroissement entre deux instants donne la vitesse moyenne sur cet intervalle. Si la question porte sur un instant unique et que le modèle est dérivable, la dérivée est l’outil adapté.
Pour deux relevés de température, le même quotient donne une variation moyenne par unité de temps. Lorsque les mesures sont bruitées, un intervalle plus large ou un ajustement des données est préférable à deux instants presque confondus.
Sur un graphe, reliez deux points lorsque vous cherchez une évolution moyenne : la pente de la sécante est le taux d’accroissement. Si vous cherchez le comportement local en un seul point, examinez plutôt la pente de la tangente.
À ne pas confondre
Avec un taux de variation en pourcentage. Le taux d’accroissement divise la variation de f par la variation de la variable. Un pourcentage rapporte généralement une variation à une valeur de départ. Si une grandeur passe de 10 à 12 pendant que la variable x passe de 1 à 5, le taux d’accroissement vaut (12 − 10) / (5 − 1) = 0,5, tandis que la hausse relative vaut 20 %.
Avec la dérivée. Le taux d’accroissement concerne deux valeurs distinctes et la pente d’une sécante. La dérivée concerne un point et résulte d’une limite. Pour la fonction carrée, notée f avec f(x) = x2, le taux entre 1 et 3 vaut 4, alors que la dérivée en 1 vaut 2.
Limites et pièges
Deux valeurs confondues. Lorsque les deux valeurs choisies sont nommées a et b, le cas b = a donne un dénominateur b − a égal à 0 : le taux d’accroissement n’est pas défini. Il faut garder deux valeurs distinctes ou, pour étudier un point, chercher la limite du quotient.
Une limite qui n’existe pas. Le rapprochement de b vers a ne produit pas toujours une dérivée. Pour la fonction valeur absolue au point 0, les quotients tendent vers −1 à gauche et vers 1 à droite. Comme ces limites diffèrent, aucune pente de tangente unique n’existe en 0.
Un intervalle minuscule avec des données arrondies. Diviser une petite erreur de mesure par un très petit écart b − a peut fortement perturber le résultat. Il faut alors conserver davantage de précision, choisir un intervalle compatible avec les mesures ou ajuster plusieurs points.
Des unités oubliées. Le quotient porte l’unité de f par unité de variable. Une distance en kilomètres divisée par un temps en heures donne des kilomètres par heure, et non un nombre sans unité.
Pour aller plus loin
Pente. Cette notion précise la lecture géométrique du quotient comme inclinaison d’une droite.
De la dérivée à l’élasticité. Cet article prolonge la dérivée vers une mesure relative utilisée pour comparer des sensibilités.
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