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Pentes (inégalité des)
L'inégalité des pentes, aussi connue comme inégalité de la corde, affirme que pour une fonction convexe définie sur un intervalle, si a < b < c, alors le taux d'accroissement entre a et b est inférieur ou égal au taux d'accroissement entre a et c, lui-même inférieur ou égal au taux d'accroissement entre b et c. Autrement dit, les pentes des cordes sont croissantes. Cette propriété caractérise la convexité et sert de base aux démonstrations de nombreuses inégalités classiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la double inégalité entre les trois pentes de cordes.
- Calculer les pentes sur l’exemple de la fonction carré.
- Distinguer convexité, croissance et dérivée.
- Repérer les hypothèses, les égalités et les cas où le critère ne s’applique pas.
En clair
Imaginez trois points placés de gauche à droite sur une courbe en forme de bol. Une corde relie deux de ces points, comme une règle posée en travers du dessin. Plus on compare des points situés vers la droite, plus cette corde monte vite.
L’inégalité des pentes traduit exactement cette observation. La pente calculée avec les deux premiers points ne dépasse pas celle reliant les points extrêmes, qui ne dépasse pas celle des deux derniers points.
Définition
Soit une fonction f définie sur un intervalle et trois nombres de cet intervalle, notés a, b et c, rangés dans l’ordre a < b < c. Le taux d’accroissement entre deux nombres distincts mesure la variation de la valeur de f divisée par l’écart entre ces nombres. Par exemple, entre a et b, il vaut .
La fonction f est convexe exactement lorsque, pour tout choix de a, b et c dans cet ordre, les trois taux satisfont l’inégalité suivante :
Ces quotients sont les pentes des cordes joignant les points correspondants du graphe. Le taux sur l’intervalle entier [a, c] est une moyenne pondérée des deux autres : il reste donc entre eux. Cette formulation ne suppose pas que f soit dérivable. Elle constitue à la fois une conséquence et un critère de la convexité sur un intervalle.
Le principe
Si f est convexe sur un intervalle et si trois nombres a, b et c de cet intervalle vérifient a < b < c, alors :
Réciproquement, si cette double inégalité est vraie pour tous les triplets ordonnés de l’intervalle, alors f est convexe sur cet intervalle. Les trois quotients correspondent respectivement aux cordes [a, b], [a, c] et [b, c].
Quand l'utiliser
La règle s’applique à une fonction réelle définie sur un intervalle, avec trois abscisses distinctes appartenant à cet intervalle. Leur ordre a < b < c garantit que les trois dénominateurs sont strictement positifs. Pour obtenir les inégalités dans ce sens, la fonction doit être convexe sur tout l’intervalle qui contient ces points. Aucune dérivée n’est nécessaire.
Pour un contre-cas concret, prenez la fonction f définie par f(x) = −x2 aux abscisses 0, 1 et 3. Les pentes valent alors −1, −3 et −4 : elles décroissent. La double inégalité annoncée échoue, car cette fonction est concave. Il faut alors renverser le sens des deux inégalités.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par f(x) = x2. Les trois abscisses choisies sont a = 0, b = 1 et c = 3. Leurs images sont f(0) = 0, f(1) = 1 et f(3) = 9.
Étape 1. Entre 0 et 1, la pente vaut .
Étape 2. Entre 0 et 3, la pente vaut .
Étape 3. Entre 1 et 3, la pente vaut .
Le contrôle donne bien 1 ≤ 3 ≤ 4. La figure associe ces valeurs aux cordes reliant A(0 ; 0), B(1 ; 1) et C(3 ; 9) sur la courbe. On peut aussi vérifier le calcul central : 3 est la moyenne pondérée de 1 et 4, avec les longueurs horizontales 1 et 2 comme poids.
En pratique
Pour contrôler un calcul sur une fonction déjà connue comme convexe, on compare les pentes de plusieurs cordes. Si leur ordre est inversé sur un seul triplet, ce constat suffit à réfuter la convexité sur l’intervalle étudié.
Quand une formule est dérivable, l’étude de la dérivée est souvent plus rapide : une dérivée croissante entraîne la convexité. L’inégalité des pentes reste préférable si la fonction présente un angle ou si l’on ne veut pas calculer de dérivée.
Dans une démonstration d’inégalité, on choisit des abscisses adaptées puis on encadre une pente difficile par deux pentes plus simples. L’ordre des trois abscisses fixe leur disposition et garantit la positivité des dénominateurs ; c’est la convexité qui fixe le sens des comparaisons.
À ne pas confondre
Convexité et croissance. Une fonction croissante possède des valeurs de plus en plus grandes ; une fonction convexe possède des pentes de cordes de plus en plus grandes. La fonction x ↦ x2 sur [−1, 1] est convexe, mais elle décroît d’abord puis croît.
Pente d’une corde et dérivée. La pente d’une corde compare deux points distincts. La dérivée, lorsqu’elle existe, décrit une pente locale obtenue par passage à la limite. Une fonction convexe avec un angle conserve des pentes de cordes ordonnées même si sa dérivée n’existe pas au sommet de l’angle.
Limites et pièges
Abscisses confondues. Si a = b ou b = c, l’un des dénominateurs est nul et la pente correspondante n’est pas définie. Il faut conserver trois points distincts ou, si la fonction est dérivable, étudier une limite menant à une dérivée.
Quelques tests ne constituent pas une preuve. Vérifier 1 ≤ 3 ≤ 4 pour le triplet 0, 1, 3 confirme seulement ce cas. Caractériser la convexité exige que l’inégalité soit vraie pour tous les triplets ordonnés de l’intervalle, ou qu’un autre critère global soit démontré.
Égalité possible. Les signes sont larges. Une fonction affine possède la même pente sur toutes ses cordes, donc les deux comparaisons deviennent des égalités. Plus généralement, pour une fonction convexe, une égalité sur un triplet signale que la fonction est affine entre les abscisses extrêmes de ce triplet.
Ordre indispensable. Échanger les lettres sans les remettre dans l’ordre brouille le sens des comparaisons. Le bon réflexe consiste à ranger d’abord les trois abscisses de la plus petite à la plus grande, puis à former les quotients.
Pour aller plus loin
Le concept de convexité replace l’ordre des pentes parmi les différentes manières de reconnaître la forme globale d’une fonction.
La fiche Fortement convexe (fonction) présente un renforcement quantitatif de la convexité, utile lorsque la simple croissance des pentes ne suffit plus.
L’article Au-delà de la convexité ouvre sur des cadres qui prolongent cette notion et sur les questions qui apparaissent lorsqu’on l’élargit.
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