convexité d'une fonction

Tracez la courbe qui représente le carré d'un nombre entre 0 et 2, puis reliez ses extrémités par un segment. La courbe reste sous ce segment : au milieu, elle passe par le point de hauteur 1, tandis que la corde est à la hauteur 2.

Cette forme « en bol » traduit la convexité. Plus généralement, deux points quelconques du graphe déterminent une corde, et aucun point de la courbe situé entre eux ne la dépasse.

Une fonction numérique f est convexe sur un intervalle I lorsque la valeur de f en toute moyenne pondérée de deux points ne dépasse pas la même moyenne pondérée de leurs images. Si x et y sont deux nombres de I et si t est un poids compris entre 0 et 1, cette condition s'écrit : $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)f(tx+(1-t)y)\backslash leq\; tf(x)+(1-t)f(y)$. Le nombre tx + (1 − t)y reste dans I parce que I est un intervalle.

Dans le plan, le membre de droite donne la hauteur du point de la corde joignant les points du graphe d'abscisses x et y. La convexité affirme donc que le graphe est sous toutes ses cordes. Aux poids t = 0 et t = 1, les deux côtés sont égaux ; l'information porte sur les poids intermédiaires.

Lorsque f est dérivable sur I, elle est convexe si et seulement si sa dérivée f′ est croissante. Lorsqu'elle est deux fois dérivable, le critère équivalent devient f″ ≥ 0 sur I. Une fonction est concave lorsque son opposée −f est convexe. Toute fonction convexe est continue à l'intérieur de I et peut ne pas être dérivable en certains points, mais l'ensemble de ces points est au plus dénombrable.

La convexité met en relation cinq éléments. L'intervalle I fournit le domaine où l'on peut prendre deux nombres x et y. Le poids t, compris entre 0 et 1, place le nombre tx + (1 − t)y entre eux. La fonction f transforme ces trois abscisses en hauteurs. Enfin, la corde relie les points (x, f(x)) et (y, f(y)).

Le même poids t règle à la fois la position horizontale entre x et y et la hauteur tf(x) + (1 − t)f(y) sur la corde. Comparer cette hauteur à f(tx + (1 − t)y) suffit à tester l'inégalité pour ce choix. Pour établir la convexité, la comparaison doit réussir pour tous les couples de points et tous les poids autorisés, indépendamment de la couleur, de l'échelle ou de l'épaisseur du tracé.

Considérons la fonction f définie par f(u) = u² sur l'intervalle [0, 2]. Les deux abscisses choisies sont x = 0 et y = 2, et le poids est t = 1/2. Le point intermédiaire est donc le milieu des deux abscisses.

1. La moyenne pondérée des abscisses vaut (1/2) × 0 + (1/2) × 2 = 1.
2. La hauteur de la courbe à cet endroit vaut f(1) = 1² = 1.
3. Les hauteurs aux extrémités valent f(0) = 0 et f(2) = 4.
4. La hauteur de la corde au milieu vaut (1/2) × 0 + (1/2) × 4 = 2.

On obtient bien 1 ≤ 2 : au milieu, le graphe est une unité sous la corde. Ce calcul vérifie un cas de l'inégalité, mais pas encore tous les choix de x, y et t. Le contrôle général vient du critère de la dérivée seconde : f″(u) = 2 pour tout u de [0, 2], donc f est convexe sur cet intervalle.

Pour reconnaître une fonction deux fois dérivable comme u ↦ u², on calcule sa dérivée seconde. Si elle reste positive ou nulle sur tout l'intervalle étudié, la fonction y est convexe. Si la dérivée seconde n'existe pas partout, il faut revenir à l'inégalité des cordes ou étudier la croissance de la dérivée lorsqu'elle existe.

Pour chercher un minimum, la convexité transforme un indice local en conclusion globale. Si une fonction convexe dérivable possède un point où sa dérivée s'annule, ce point réalise un minimum global sur l'intervalle. Sans convexité, une dérivée nulle peut aussi signaler un maximum local ou un point stationnaire sans extremum.

Pour contrôler un graphique, on choisit deux points éloignés et on compare la courbe à leur corde. Un seul passage au-dessus suffit à réfuter la convexité sur l'intervalle. En revanche, quelques cordes bien placées ne constituent qu'un test visuel, pas une preuve pour tous les couples.

Une fonction convexe n'est pas nécessairement croissante. La fonction u ↦ u² est convexe sur ℝ, mais elle décroît jusqu'à 0 puis croît. Le test porte sur la position sous les cordes, non sur le sens de variation des valeurs.

Convexité et concavité ont des inégalités opposées. Une fonction concave a son graphe au-dessus de ses cordes ; son opposée est convexe. Par exemple, u ↦ −u² est concave, alors que u ↦ u² est convexe.

La convexité d'une fonction ne se confond pas avec celle de son domaine. L'intervalle I est un ensemble convexe parce qu'il contient tout segment entre deux de ses points ; la fonction f est convexe parce que ses valeurs vérifient en plus l'inégalité pondérée.

Vérifier seulement le milieu, c'est-à-dire le poids t = 1/2, ne suffit pas sans hypothèse supplémentaire de régularité. Une fonction pathologique peut respecter toutes les inégalités aux milieux sans être convexe au sens complet. Il faut contrôler tous les poids de [0, 1], ou ajouter une condition telle que la continuité.

Le signe de f″ ne s'utilise que si la fonction est deux fois dérivable sur l'intervalle considéré. La fonction valeur absolue u ↦ |u| est convexe sur ℝ, bien qu'elle ne soit pas dérivable en 0. Dans ce cas, l'inégalité des cordes reste applicable.

L'inégalité large autorise les segments droits. Une fonction affine vérifie l'égalité pour tous x, y et t : elle est à la fois convexe et concave. Pour exclure ce cas, on parle de convexité stricte, où l'inégalité devient stricte lorsque x ≠ y et 0 < t < 1.

Une dérivée seconde positive en quelques points ne donne aucune conclusion sur tout l'intervalle. Il faut vérifier f″ ≥ 0 partout où le critère s'applique ; si son signe change, on découpe le domaine en intervalles de convexité et de concavité.

La fonction exponentielle fournit un autre exemple fondamental : sa dérivée seconde est elle-même et reste strictement positive.

La notion de Minimum prolonge l'usage en optimisation : la convexité aide à passer d'une condition locale à une garantie globale.